Нестандартные задачи на олимпиадах по математике Учебно (стр. 4 из 5)
22. Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?
Решение: Можно привести пример раскраски в семь цветов плоскости, для которой расстояние между любыми двумя одноцветными точками не равно 1. Разобьем плоскость на равные шестиугольники со стороной а и окрасим их, как показано на рис. (точки, принадлежащие двум или трем шестиугольникам, можно красить в любой из цветов этих шестиугольников). Наибольшее расстояние между точками одного цвета, лежащими в одном шестиугольнике, не превосходит 2а, а наименьшее расстояние между точками одного цвета, лежащими в разных шестиугольниках, не меньше длины отрезка АВ (см. рис.). Ясно, что АВ2 =АС2+ВС2=4а2+3а2=7а2>(2а)2. Поэтому если 2а<1< 7а, т.е.
1/7<а<1/2, то расстояние между точками одного цвета не может быть равно 1.
23. Можно ли шашечную доску размером 10x10 замостить плитками размером 1x4?
Решение: Раскрасим доску в четыре цвета, как показано на рис. Легко сосчитать, что клеток второго цвета 26, а четвертого 24. Каждая плитка 1x4 накрывает по одной клетке каждого цвета. Поэтому плитками 1x4 нельзя замостить доску 10x10, так как иначе клеток каждого цвета было бы поровну.