Справді, що виникає виникає під дією чого-небудь, утвориться з чого-небудь і стає чим-небудь. Наприклад, мідна куля – з міді. Але робити мідну кулю – не значить робити саму форму «круглого»; вона завжди «у наявності». Тому «очевидно, що і форма також, як би нам не називати в почуттєвій речі її образ, не виникає, і у відношенні до неї процес виникнення не має місця, так само як не виникає і суть буття. Вона з'являється в іншому (у субстраті, у матерії.) чи дією мистецтва, чи природи, чи здатності». Не виникає і матерія – вона вічна, переходячи з одного стану в інше під впливом форми і рушійного (діючого) початку, тобто форми. Однак у такому випадку виникає питання: а як існує «матерія взагалі», безвідносно до форм, і як існує «форма взагалі», безвідносно до матерії, у якій вона втілена? Якщо виходити з викладеного, то питання начебто б, не має змісту: немає матерії без форми і форми без матерії. Але сам Аристотель це питання ставить і відповідає на нього в такий спосіб. Є і «перша матерія», «те, що саме по собі не позначається ні як визначене власне кажучи, ні як визначене по кількості, що ні як володіє яким-небудь з інших властивостей, який буває визначене суще». Є і «форма форм» – божество.
З цієї проблеми випливає нова. Якщо ні матерія, ні форма не виникають, то як же виникає, річ? Перша відповідь полягала в тому, що вони виникають за допомогою оформлення матерії, з'єднання форми і матерії. Але адже якщо вони – за винятком «першої матерії» і «форми форм» – не існують окремо, то як можуть вони з'єднатися? І чи не існують тоді речі вічно, не виникаючи і не зникаючи? Уникнути цього «элейского» висновку Аристотель зміг за рахунок введення у філософію двох нових важливих понять, а саме «можливість» (dynamis) і «дійсність» (energeia). Поняття ці тісно ув'язані в нього з поняттями форми і матерії. Матерія – це можливість, оскільки вона не є те, чим може стати згодом. Форма – дійсність, чи дійсне як таке. Звідси своєрідна діалектика матерії і форми, можливості і дійсності. За винятком «першої матерії», усяка матерія в тому чи іншому ступені оформлена, а отже, і сама може виступати в різних функціях. Так, цегла, будучи матерією для будинку, є формою для глини. Тому цеглини - це будинок у можливості, а глина – цегла в можливості. Цегла ж – дійсність (форма) глини, а будинок-дійсність цегли. Дитина дійсність дитини, але можливість дорослої людини, і т.д. А виникнення є, отже, здійснення, актуалізація можливості.
Формулювання Аристотелем вчення про можливість і дійсність мали важливе значення в історії філософії. По-перше, це вчення дозволило розв’язати парадокс виникнення: якщо що-небудь виникає, то воно виникає як здійснення можливості, а не «з нічого». І в той же час не з простого сполучення (з'єднання) часток матерії – гомеомерій, «коренів», атомів. По-друге, воно дозволяє більш реалістично уявити джерело руху. Джерело це лежить не поза світом, як у Платона, а в самому світі, представляючи його особливий аспект. Нарешті, тут реалізується вчення Аристотеля про причини, дане вже не в статиці, а в динаміці. Вчення Аристотеля містить цілий ряд слабких місць. Зупинимося на них докладніше.
Можливо, одним з головних слабких місць вчення Аристотеля про причини – його тавтологічність. Справді, визначення форми як дійсності веде до того, що на питання про причину того чи іншого явища явно мається на увазі відповідь, що вона повинна бути відмінна від самого досліджуваного явища. Але якщо виникнення (зміна) є переходом можливості в дійсність, то нічого нового і тут не виникає – як не виникає сама форма. Звідси безплідність філософствування «за Аристотелем», що виявилася в середньовічній філософії, що довела логіку аристотелівського вчення про причини до логічного кінця.
Утім, своїй натурфілософії Аристотель більш адекватно розуміє причинні зв'язки. Що ж стосується першої філософії, то її завершенням (утім, також і початком) можна вважати поняття божества. Якщо у відношенні матерії і форми воно виступає як «форма форм», то стосовно до зміни – як «першодвигун» чи «нерухомий двигун». Нерухомий - тому, що всякий рух конечний і логічно вимагає кінця. У той же час бог – «мислення мислення», і блаженство божества складається в блаженному самоспогляданні. Звідси ототожнення Аристотелем першої філософії з теологією.
Звичайно, це не традиційна теологія з її антропоморфними богами. Бог Аристотеля - «бог філософів», безособовий і універсальний світовий початок. Але звідси і протиріччя в розумінні божества. І насамперед – «нерухомий двигун». Аристотель дорікав Платону на тій підставі, що той вважав нерухомі ідеї джерелом руху. Неважко зауважити, що тут перед нами, замість трансцендентної телеології Платона, що виносить мету за межі чуттєвого світу, телеологія іманентна. Джерело її – в уподібненні Аристотелем будь-якого процесу акту людської діяльності, що включає цільову детермінацію. Додамо до цього зміну, внесену Аристотелем у поняття матерії. Вона вже не живе, що змінюється початок, саморушна природа-фюсис перших філософів, але нерухома, пасивна, неоформлена маса, що вимагає відмінного від неї джерела руху. Це помилкове уявлення протягом двох тисячоліть тяжіло над філософією, обумовлюючи непослідовність матеріалізму і переваги ідеалістичного розуміння світу. Лише відновлення в XVIII в. Демокритового вчення про вічність руху і його необхідного зв'язку з матерією підірвало цю традицію.
Однак «матерія» Аристотеля не просто «відсутність» (stere-sis) форми і можливість її знаходження. З матерії виникає природна необхідність (необхідність природи – ananke-physeos), а також випадковість – вони обмежують доцільну діяльність людей і самої природи. Інакше кажучи, матерія виявляється джерелом недосконалостей у світі, як і протилежностей небесного і земного, чоловічого і жіночого, добра і зла. Звідси моральна оцінка природних процесів, що також спотворює картину світу. Утім, звідси випливає той факт, що матерія в Аристотеля – це все-таки в чомусь активний початок, принцип індивідуації речей. А тут перед нами те ж протиріччя, що й у розумінні одиничного і загального, матерії і форми, можливості і дійсності. Звідси його коливання між ідеалізмом і матеріалізмом по цілому ряді питань, але при загальній перевазі ідеалізму.
Аристотель рішуче критикував теорію ідей Платона, показавши в ній неправомірність відділення загального від одиничного й окремих. Однак, уставши сам на позиції ідеалізму. зв'язані насамперед з ідеями форми як «суті буття» речей, бога як «нерухомого двигуна», «форми форм», незалежної від матерії, і «блага», він змушений у чомусь миритися з Платоном.
До часів Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель порушив питання в необхідності впорядкування самого знання в способах засвоєння науки, у цілеспрямованій розробці мистецтва ведення пізнавальної діяльності, що включає два основних розділи: "освіченість" і "наукове знання справи". Серед відомих творів Аристотеля немає спеціально присвячених викладів методологічних проблем математики. Але по окремих висловленнях, по використанню математичного матеріалу як ілюстрації загальних методологічних положень можна скласти уявлення про це, що був його ідеал побудови системи математичних знань.
Вихідним етапом пізнавальної діяльності, відповідно Аристотелю, є навчання, що "засновано на якомусь уже раніш наявному знанні... Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв здобувається саме таким способом". Для відділення знання від незнання Аристотель пропонує проаналізувати "усі ті думки, що по-своєму висловлювали в цій області деякі мислителі" і обміркувати виниклі при цьому утруднення. Аналіз варто проводити з метою з'ясування чотирьох питань: "що річ є, чому вона є, чи є вона і що вона є".
Основним принципом, що визначає всю структуру "наукового знання справи", є принцип зведення усього до початків і відтворення усього з початків. Універсальним процесом виробництва знань з початків, відповідно Аристотелю, виступає доказ. "Доказом же я називаю силогізм, - пише він, - який дає знання". Викладу теорії доказового знання цілком присвячений "Органон" Аристотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати в розділи, кожний з яких розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доводить: "те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться". Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об'єкту, предмету і засобів доказу.
Існування математичних об'єктів визнавалося задовго до Аристотеля, однак піфагорійці, наприклад, припускали, що вони знаходяться в почуттєвих речах, платоністи ж, навпаки, вважали їх існуючими окремо. Відповідно до Аристотеля:
1. У почуттєвих речах математичні об'єкти не існують, тому що "знаходиться в тім же самім місці два тіла не в змозі";
2. "Неможливо і те, щоб такі реальності існували відокремлено".
Аристотель вважав предметом математики "кількісну визначеність і безперервність". У його трактуванні "кількістю називається те, що може бути розділене на складові частини, кожна з яких є чимось одним, даним у наявності. Це чи інша кількість є безліч, якщо його можна рахувати, це величина, якщо його можна виміряти". Безліччю при цьому називається те, "що в можливості потенційно поділяється на частини не безконечні, величиною - це, що поділяється на частини безконечні". Перш, ніж дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття нескінченного, тому що "воно належить до категорії кількості" і виявляється перш за все в безперервному. "Що нескінченне існує, впевненість у цьому виникає в дослідників з п'яти причин: з часу (тому що воно нескінченно); з поділу величин; далі, тільки в такий спосіб не вичерпаються виникнення і знищення, якщо буде нескінченне, відкіля береться виникаюче. Далі, з того, що кінцеве завжди межує з чим-небудь, тому що необхідний, щоб одне завжди граничило з іншим. Але більш за все – на тій підставі, що мислення не зупиняється: і число здається нескінченним, і математичні величини". Чи існує нескінченне як окрема чи сутність воно є акциденцією чи величиною безлічі? Аристотель приймає другий варіант, тому що "якщо нескінченне не є ні величина, ні безліч, а саме є сутністю, то воно буде неподільне, тому що ділене чи буде величиною, чи безліччю. Якщо ж воно не ділено, воно не нескінченно в розумінні не перехідного до кінця". Неможливість математичного нескінченного як неподільного випливає з того, що математичний об'єкт - відволікання від фізичного тіла, а "актуально неподільне нескінченне тіло не існує". Число "як щось окреме й у той же час нескінченне" не існує, адже "...якщо можливо перерахувати зчислене, то буде можливість пройти до кінця і нескінченне". Таким чином, нескінченність тут потенціально існує, актуально ж - немає.