Содержание и значение математической символики (стр. 4 из 15)

2х² + Зх -2 = 2х к виду 2х² + Зх = 2х + 2, мы произвели операцию ал-джабр.

«Ал-мукабала» означает сопоставление подобных членов, приведение их к одному; в нашем уравнении подобные члены Зх и 2х, поэтому получим 2x² + x = 2.

Модификация слова ал-джабр породила более позднее алгебра. Аналогично, слово алгорифм (алгоритм) произошло от ал-Хорезми.

Основное внимание в трактате ал-Хорезми обращает на решение уравнений вида

ax² = bx, ax² = c, ax² + bx = c, ax² + c = bx, bx + c = ax², bx = c,

которые формулирует словесно, например, так: «квадраты и корни равны числу» (ах² + bх = с). Он высказывает правила, дающие только положительные решения уравнений, определяет условия, при которых эти решения существуют. Обоснование правил ал-Хорезми дает в духе геометрической алгебры древних.

От арабов Европа получила следующий способ решения уравнения

х² + ах = b.

Построим квадрат х², к его сторонам приложим четырехугольники длины х + 2а/4 = х + а/2 и ширины а/4. Тогда площадь полученного квадрата

= x² + ax + .

Значит, x² + ax +

= = b + , = b + .

Величины b и а известны, поэтому можно построить

, откуда х + = - . Впрочем, ал-Хорезми, приведший в своем сочинении этот метод, уравнению ах² + с = bх приписывал два корня.

В трактате приведены некоторые сведения о действиях над алгебраическими выражениями, примеры решения треугольников много задач о разделе наследства приводящих к уравнениям первой степени. Таким образом, трактат ал-Хорезми не содержал ничего нового по сравнению с тем, что было у греческих авторов и индусов, но он заслуживает внимания потому, что в течение длительного времени был руководством, по которому велось обучение в Европе.

2.1.5 Развитие алгебры в Европе.

Каково же было состояние математики в это время в Европе. Об этом наука располагает крайне скудными сведениями.

В XII – XIII вв. в Европе интенсивно переводились в арабского языка как труды самих арабов, так и работы древних греков, переведенные на арабский язык.

Первым европейским математиком, которому удалось осветить многие вопросы и внести в математику свой вклад, был Леонардо Пизанский (Фибоначчи, 1180–1240), написавший «Книгу абака». В ней рассмотрены различные задачи, указаны методы их решения, причем арифметика и алгебра линейных и квадратных уравнений изложены с небывалой до этого времени точностью и полнотой.

Существо задачи Леонардо излагает словесно; неизвестную он называет res (вещь) или radix (корень); квадрат неизвестной – census (имущество) или quadratus (квадрат); данное число – numerus. Все это латинские пероводы соответствующих латинских слов.

Современник Леонардо, Иордан Неморарий (XIII в), употреблял буквенные обозначения более систематично и решал задачи с применением линейных и квадратных уравнений, сначала в общем виде, а затем иллюстрировал их числовыми примерами.

Французский епископ Николь Орем (1323-1382) рассматривал «дробно – рациональные отношения», соответствующе современным степеням a^½, a^¼, a^3/2 и т.д., сформулировал правила операций с этими отношениями типа

, , , ,

Орем вплотную подошел к понятию иррационального показателя. Он доказал расходимость гармонического ряда 1 +

+ + +…

Выдающимся алгебраистом своего времени стал монах-францисканец Лука Пачоли (ок. 1445 – ок.1514) близкий друг Леонардо да Винчи, работавший профессором Математики в университетах и различных учебных заведениях Рима, Болоньи, Неаполя, Флоренции, Милана и других городов.

Он ввел «алгебраические буквы» (caratterialgebraici), дал обозначения квадратному и кубическому корням, корню четвертой степени; неизвестную х он обозначал со (cosa – вещь), х² – се (censo - квадрат, от латинского census), х³ – cu (cubo), x⁴– се. се. (censo de censo), x⁵ – р°г° (primo relato – «первоеrelato», x⁶ – р°г° х – се. cu. (censo de «второеrelato»), х⁸– ce. ce. ce. (de censo), x⁹ – cu. cu. (cubo de cubo), x¹⁰ – ce. p°r° (censo de primo relato), x¹³ – 3°r° (tersio relato - «третье relato») ит. д.; свободныйчленуравнения– n° (numero – число). Как видим, некоторые степени Пачоли получал мультипликативным способом с помощью показателей 2 и 3 (х⁴ = х^2×2 , х⁶ = х^2×3, х⁹ = х^3×3 и т. д.), а в случаях, когда так не получалось, пользовался словом relato (например, при образовании х⁵, х⁷, х¹¹ и т. д.). Специальными символами Пачоли обозначил вторую неизвестную и ее степени. Для обозначения операции сложения он воспользовался знаком

(plus – больше), для обозначения вычитания – знаком (minus – меньше). Он сформулировал правила умножения чисел, перед которыми стоят знаки и .

Раздел «Суммы», посвященный алгебраическим уравнениям, Пачоли закончил замечанием о том, что для решения кубических уравнений х³ + ах = b и х³ + b = ах «искусство алгебры еще не дало способа, как не дан еще способ квадратуры круга».

Некоторый шаг в совершенствовании алгебраической символики сделал бакалавр медицины Н. Шюке (ум. ок. 1500 г.), который в книге «Наука о числах в трех частях» изложил правила действий с рациональными и иррациональными числами и теорию уравнений. Для сложения и вычитания он вслед за Пачоли пользовался знаками

и , причем, знак служил и для обозначения отрицательного числа. Неизвестную величину он называл premier («первое число»), а ее степени – вторыми, третьими и т. д, числами. Записи степеней неизвестной у Шюке лаконичны. Например, современные символы 5, 5ж, 5х, 5х², 5х³ у него выглядели бы так: 5°, 5¹, 5², 5³. Вместо равенства 8х³×7х^-1 = 56х² Шюке писал: «8³, умноженное на 7¹×

, дает 56²». Таким образом, он рассматривал и отрицательные показатели. Относительно свободных членов уравнения Шюке указывал, что эти числа «имеют имя нуль».

Значительного успеха в совершенствовании «алгебраических букв» Луки Пачоли достигли немецкие алгебраисты – «коссисты». Они вместо

и ввели знаки + и –, знаки для неизвестной, и ее степеней, свободного члена.

XVI в. в алгебре ознаменовался величайшим открытием – решением в общем виде уравнений третьей и четвертой степеней.

Спицион дель Ферро в 1506 г. нашел решение кубического уравнения вида

x³ + ax = ba,b >0. (1)

Чуть позже Тарталья указал решение этого же уравнения в виде х =

- , где u – v = b, uv = , откуда u и v находятся как корни квадратного уравнения.

Также он нашел решение уравнения x³ = ax + ba,b >0 (2)

в виде х =

+ , где u + v = b, uv = .

Уравнение же x³ + b = axa,b >0 можно решить с помощью уравнения (2).

В те времена предпочитали избегать отрицательных корней и задачи, сводящиеся к отрицательным корням уравнения (2), преобразовывали так, чтобы они приводили к положительным корням уравнения (3). Лишь Кардано позже осознал выгоду рассмотрения отрицательных корней.