Решение задач с помощью ортогонального проектирования (стр. 2 из 7)
Покажем, как задать какую-нибудь точку плоскости. Пусть плоскость Q задана тремя точками А, В и С (рис. 8). Соединим их прямыми, тогда плоскость Q будет задана треугольником АВС. Проще всего искомую точку М1 задать на какой-нибудь стороне, например ВС. Проведем в плоскости Q произвольную прямую l. Выделим на плоскости Q две произвольные точки, например, А и М1 , и определим этими точками прямую l (l1 ,l2), принадлежащую плоскости Q.
Так как проекция плоскости Q покрывает все поле проекций, то одну из проекций точки, принадлежащей плоскости, можно задать произвольно, тогда вторая проекция определится однозначно. Выберем произвольно проекцию М13 . Далее проведем в плоскости Q какую-нибудь прямую m, горизонтальная проекция которой проходила бы через выбранную проекцию М13 . Прямая m определена точками C и N, принадлежащими плоскости Q. Построив вторую проекцию m2прямой mв пересечении с линией связи, проведенной черезМ13 ,найдем искомую проекцию М13 .
Таким образом, построение точки в данной плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.
Изображаемая фигура называется оригиналом, а изображенная – проекцией данной фигуры.
Параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Так как ортогональная проекция является частным случаем параллельной проекции, то, проецируя окружность О, расположенную в плоскости общего положения Q (рис. 9) ортогонально на плоскость П1 , получаем эллипс О1 .
В окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD, причем АВ пройдет по прямой уровня плоскости Q, а диаметр CD – по прямой наибольшего уклона этой плоскости по отношению к плоскости проекций П1. Тогда диаметр АВ спроецируется в диаметр А1В1 эллипса, равный диаметру окружности, т.е. АВ=А1В1 , а диаметр CD спроецируется в диаметр C1D1 эллипса. Так как угол, образованный этими диаметрами, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости Q к плоскости П1 , то, обозначив его через φ, получим C1D1=CDcosφ. Взаимно перпендикулярные окружности диаметры обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании сохраняется. Следовательно, диаметры А1В1 и C1D1 будут сопряженными диаметрами эллипса. Но, с другой стороны, они взаимно перпендикулярны, поэтому являются осями эллипса, причем А1В1- большая ось, а C1D1- малая ось.
2.2. Проекция треугольника, параллелограмма и трапеции.
Треугольник изображается треугольником любой формы. Медиана треугольника будет изображаться медианой, так как отношение отрезков сохраняется. При проекции биссектрисы и высоты пойдет искажение.
Так как параллельность прямых сохраняется, то изображение параллелограмма, в частности, прямоугольника, ромба, квадрата, служит параллелограмм. Длина сторон и величины углов произвольные.
Любая трапеция изображается в виде произвольной трапеции. Сохраняется только отношение оснований. Равнобокая трапеция имеет ось симметрии. Ее изображают следующим образом (рис. 10). Каждое из оснований делим пополам и проводим ось симметрии.
2.4. Проекции правильного шестиугольника.
При построении оригинала правильного шестиугольника используют два симметричных ромба: OBCD и OAFE (рис. 11, а). Изображение же получается при построении ромбов в виде двух одинаковых произвольных параллелограммов. Для получения проекции правильного шестиугольника надо оставшиеся точки соединить (рис. 11, б).
2.5. Проекции тетраэдра и параллепипеда.
Тетраэдр (треугольная пирамида) изображается в виде произвольного четырехугольника с его диагоналями (рис.12, а).
 |
Для построения проекции параллепипеда сначала из произвольной точки проводим три луча различной длины, не совпадающие. Затем на каждой паре лучей строим параллелограмм. Полученный каркас достраиваем до параллепипеда (рис. 12,б).
Глава III. Задачи на метрические построения.
Чертеж, на котором построена фигура Ф0 , имеющая форму оригинала заданной плоской фигуры (т. е. подобная фигуре Ф), называют выносным чертежом фигуры Ф.
Если точки P, Q и R принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекции на плоскость, выбранную в качестве основной, - точки P’, Q’ и R’, то точки пересечения соответственных прямых, т.е. точки S1=PQ∩P’Q’, S2=PR∩P’R’, S3=RQ∩R’Q’, лежат на одной прямой. Эта прямая является основным следом секущей плоскости.
Построение выносных чертежей может быть выполнено вычислительным, а также геометрическим способом.
Задача 1. На ребрах ВВ1 и CD куба ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер. Построить фигуру, подобную многоугольнику, полученному в сечении кубу плоскостью С1PQ.
Решение (рис. 13, а). Находим точку S1 , в которой пересекаются прямые C1P и BC. Таким образом, прямая S1Q является основным следом плоскости C1PQ, а в сечении получается четырехугольник C1PS1Q.
I способ построения – вычислительный. Полагая ребро куба равным a, подсчитаем стороны треугольника C1S1Q. Как нетрудно показать, точка Р – середина отрезка C1S1 и PS2║ C1Q. Поэтому ясно, что, построив треугольник, подобный оригиналу треугольника C1S1Q, можно будет затем построить и искомую фигуру.
Из прямоугольного треугольника C1S1С, в котором C1S=2ВС=2a, находим, что C1S1=a√5. Затем из прямоугольного треугольника C1СQ получаем C1Q=½a√5 и из прямоугольного треугольника CS1Q: S1Q=½a√17.
Выбирая теперь некоторый отрезок в качестве отрезка, равного а, построим отрезки x, y, z, заданные следующими формулами: x= a√5 , y=½a√5, z=½a√17, например, так, как это сделано ни рисунке 13, б.
Далее на рисунке13, в строим треугольник (С1)0Q0(S1)0 со сторонами (С1)0(S1)0 =kx, (S1)0Q0=kz, полученными на рисунке13, б.
Строим затем точку P0 – середину стороны (C1)0(S1)0 этого треугольника и проводим через нее прямую P0(S1)0║(C1)0Q0 . Четырехугольник (С1)0Q0(S2)0P0 – фигура, подобная заданному сечению куба плоскостью C1РQ (т. е. это выносной чертеж многоугольника, являющегося сечением куба плоскостью C1РQ).
 |
II способ – геометрический. Так как все квадраты подобны между собой, то квадрат (С1)0С0D0(D1)0 (рис. 14, а) подобен оригиналу грани C1CDD1 куба. Построив на этом изображении точку Q0 – середину стороны C0D0 и соединив точки (С1)0 и Q0 , получим отрезок (С1)0Q0 , который можно принять за сторону треугольника (С1)0Q0(S1)0 , подобного оригиналу треугольника C1QS1. С помощью квадрата (С1)0C0B0(B1)0 (рис. 14, б), равного квадрату (С1)0C0D0(D1)0 , построенному на рисунке 14, а, строим отрезок (С1)0(S1)0 , который будет принят за сторону треугольника (С1)0Q0(S1)0 , подобно оригиналу треугольника C1QS1.
С помощью квадрата A0B0C0D0 (рис. 14, в), равного квадрату, построенному на рисунке 14, а, строим отрезок (S1)0Q0 , который примем за третью сторону треугольника (С1)0Q0(S1)0 . Получив, таким образом, все стороны треугольника (С1)0Q0(S1)0 , строим этот треугольник. Далее, как и при вычислительном способе решения, строим точку Р0 – середину стороны (S1)0(C1)0 и т. д.
Рисунки а, б, в можно объединить в один рисунок, например, в рисунок г. Так как треугольник (С1)0Q0(S1)0 строится с точностью до подобия, то его сторонами являются отрезки, равные k(С1)0(S1)0 , k(С1)0Q0 и k(S1)0Q0 , где k>0, например, k=1.
3.2. Построения на изображениях плоских фигур.
До выполнения построений решим опорные задачи.
Задача 2. Найти отношение АН:АС (или СН:СА), где точка Н- основание высоты ВН треугольника АВС.
Решение. При способе выносных чертежей необходимо построить треугольник A0B0C0 – выносной чертеж треугольника АВС. В треугольнике A0B0C0 построим высоту B0Н0 , имеем и отрезок A0Н0 , значит, отношение A0Н0:А0C0 станет известным. Так как АН║АС и при параллельном проектировании отношение длин параллельных отрезков сохраняется, то искомое отношение АН:АС равно отношению A0Н0:А0C0 .