111) Получите и решите уравнение для величины золотого сечения.
112) Найти точку максимума и минимума функции f(x)=x*(x-1)2 и определить значения функции в этих точках.
113) При каких x функция f(x)=(x-1/4)2+1 принимает максимальное и минимальное значение на отрезке [0,1] и чему равны эти значения?
114) Известно, что расстояние от земли в метрах брошенного вертикально вверх камня меняется по закону S=4*t - t2, где t – время. Определите, на какую максимальную высоту поднимется камень.
115) Найти точки экстремума функции f(x)=x3+x2-x+1.
116) Определите, чему равно минимальное значение функции f(x)=x4-x2+1.
117) Определите, чему равно максимальное значение, которого достигает функция f(x)=3x3-2x2+1 на отрезке [0,1].
118) При каком значении х функция f(x)=-3x3+2x2-1 достигает минимального значения на отрезке [0,1]?
119) Известно, что производительность труда работника меняется в зависимости от его зарплаты по закону f(x)=5000x-10x2+500, где х – зарплата в $. Определите, сколько нужно платить работнику, чтобы производительность его труда была максимальной.
120) Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x4-3x3+x2+3x+1. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.
121) Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в январе месяце менялась по закону f(x)=x2/20-x-15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была минимальной и чему она равнялась.
122) Известно, что среднесуточная температура воздуха в Москве в июле месяце менялась по закону f(x)=-x2/30+x+15, где х –день месяца. Определите, в какой день месяца температура была максимальной и чему она равнялась.
123) Количество выпавших (в мм) осадков в Москве в январе месяце менялось по закону f(x)=20*sin(πx/30) где х –день месяца. Определите, в какой день количество осадков было максимальным и чему оно равнялось.
124) Найти точки экстремума функции f(x)=x3-x2-x+1.
125) Найти минимальное значение функции f(x)=x-sin(2x) на интервале [0,1].
126) Известно, что точка х =1 является точкой экстремума функции f(x)=-2x-x2+2x3-0.5x4. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.
127) Чему равно максимальное значение функции f(x)=2x2-x-5-x3 на интервале [0,2]?
128) Найти точки локального и глобального минимума функции f(x)=2x2-2x+5-x3 на отрезке [0,2].
129) Найти минимальное значение функции f(x)=2x2-2x+1-x3 на отрезке [0,2].
130) Курс доллара в течение месяца менялся по закону f(x)=0.16x-0.005x2+28 где х – день месяца. Определите день, когда курс доллара был максимален и чему он был равен.
131) Прибыль предприятия в течение 9 лет менялась по закону f(x)=x3/3-7x2+45x+100 где х – номер года. Определите, в каком году прибыль была наибольшей.
132) . Средний балл студента-выпускника СГУ в течение последних 10 лет с момента открытия менялся по закону f(x)=-x3/90-0.2x2-0.9x+4. Определите, в каком году успеваемость была наилучшей, а в каком наихудшей.
133) Количество студентов-учащихся СГУ в течение последних 8 лет менялось по закону f(x)=-x3/3+9x2/2-14x+1000 где х – номер года. В каком году прием студентов был наибольший, а в каком наименьший.
134) Чему равно максимальное и чему равно минимальное значение функции f(x)=x3+x2+x+1 на отрезке [0,1].
135) Найти стационарные точки функции f(x)=x3/3-2x2+3x+1 на отрезке [0,5].
136) Найти все точки локального экстремума функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1 на отрезке [0,3].
137) Найти минимальное значение функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1 на отрезке [0,3].
138) Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x6/6-x5/5+x2/2-x. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.
139) Показать, что точка х=1 является точкой перегиба (седловой точкой) функции f(x)=x3/3-x2+x+5.
140) Определите минимальное значение функции f(x)=x2-4x+3.
141) Определите максимальное значение функции f(x)=-x2+6x-8.
142) Производство автомобилей в стране (в тыс. штук) последние 10 лет менялось по закону f(x)=-x3/6+3x2/2+8x где х – номер года. Определите, в каком году было выпущено больше всего автомобилей.
143) Спрос на автомобили меняется в зависимости от месяца по следующему закону f(x)=x3/3-7x2+33x (х - номер месяца). Определите, в каком месяце года спрос на автомобили минимальный, а в каком максимальный.
144) Определите, максимальное и минимальное значение функции f(x)=-3x+5 на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.
145) Определите максимальное и минимальное значение функции f(x)=(x-2)(x-3) на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.
146) Найти минимальное значение функции f(x)=x + 1/x на отрезке [1,3] и определить, при каком х оно достигается.
147) Найти при каких значениях х функция f(x)=x/(x2+1) достигает своего максимального и своего минимального значения.
148) Средняя продолжительность светлого времени суток меняется в зависимости от номера месяца по следующему закону f(x)=12-5cos(2πx/12). Определите номер самого светлого и самого темного месяца в году.
149) Найти максимальное значение функции двух переменных f(x,y)=29-x2-8x-y2-6y , при каких значениях переменных оно достигается.
150) Найти минимальное значение функции двух переменных f(x,y)=x2-2x+y2-2y+6 , при каких значениях переменных оно достигается.
151) Решите следующую задачу линейного программирования (найти максимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x+2y≤5
3x+y≤8
x,y≥0
z=x+y→max
152) Решите следующую задачу линейного программирования (найти минимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x-y≥3
3x-y≤-3
x,y≤0
z=x+y→min
153) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y – функция
x+y=1 - условие
154) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y+x – функция
x-2y=1 - условие
155) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(xy’+(y’)2)dx.
156) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(1+(y’)2)dx.
157) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫((y’)2+2yy’)dx.
158) Записать первые 5 чисел ряда Фибоначчи.
159) Известно, что уравнение Эйлера для некоторого функционала имеет вид:
y’’=0; y(0)=0, y(1)=1. Найти уравнение экстремали.
160) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+y .
161) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+2x.
162) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2+x.
163) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2.
164) Исследовать функцию f(x)=5x2-4xy+y2-2x+1 на безусловный экстремум.
165) Исследовать функцию f(x)=2x2-2xy+y2-2x+2 на безусловный экстремум.
166) Минимизировать функцию F=4x+3y при ограничениях:
4x+y-3≥0
x+5y-15≥0
x,y≥0
167) Минимизировать функцию F=2x+3y при ограничениях:
4x+y-2≥0
x+2y-4≥0
x,y≥0
168) Максимизировать функцию F=x+3y при ограничениях:
x-2≤0
y-2≤0
x,y≥0
169) Максимизировать функцию F=x+2y при ограничениях:
y-2≤0
5x-y≤8
x,y≥0
170) В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
x+y≥2
x,y≥0
171) В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
y-x≤2
y ≥0
x≤0
172) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫x*(y’)2dx.
173) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫y*y’dx.
174) Прибыль фирмы менялась в зависимости от года-x и от номера месяца в году-y следующим образом:
F(x)=50-x2+10x-y2+10y.
Определите, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной.
175) Фирма выпускает два вида товаров а и б. Цена товара а - 2$ за штуку и цена товара б - 1$ за штуку. Какое количество товара а (х) и товара б (y) надо выпускать ежедневно, чтобы выручка была максимальной. При этом надо учитывать, что за день может быть произведено не более 10 штук товара б (y≤10) и количество y не менее чем на 3 должно превышать количество х [(y-x)≥3]. Определить величину максимальной ежедневной выручки.
176) Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$ и y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 10 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤10 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем на 2 т.е. (y-x) ≤2. Определите, какова величина максимальной прибыли.
177) Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$ и y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 9 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤9 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем в 2 раза т.е. y ≤2x. Определите, какова величина максимальной прибыли.
178) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=2xy+y2-x2+2x.
179) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)= xy-y2-x2+y.
180) В плоскости (x,y) указать область определяемую неравенствами:
(x2+y2) ≤1
(x-y) ≤0
181) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 – функция
y=x+1 - условие
182) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +2y2 – функция
y=x+1 - условие
183) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 +x– функция
y=x+1 - условие
184) Найти минимальное значение функции f(x)=x2+y2-2x-y+5/4 и при каких значениях х и y оно достигается.
185) При каких значениях х и y функция f(x)=x2-xy+y2-y достигает минимума?