Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) (стр. 2 из 4)

Ответ: а Î (-¥;-3] È(

;+¥).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство

, заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение

перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций

и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если

, то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При

графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть

, тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что

, можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда

. Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но

, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

если аÎ (-¥;3), то решений нет;

если а=3, то хÎ [3;5);

если aÎ (3;7), то

;

если aÎ [7;+¥), то решений нет.

V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)

Решение.

При любом а :

Если

, то ;

если

, то .

Строим график функции

, выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .

По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.

Ответ:

если

, то

если

, то ;

если

, то решений нет;

если

, то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров

и , при которых системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?

Решение.

С учетом того, что

имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку

, а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если

, то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда

, и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.

При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением

, иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

если

, т.е. если , то система (3) имеет два решения;

если

, то система (3) имеет три решения;

если

, то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда

.

Ответ: