Решение уравнений, неравенств, систем с параметром (алгебра и начала анализа) (стр. 3 из 4)
II. Неравенства с параметрами.
Неравенство
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.
называется допустимым значением х, если¦(a, b, c, …, k, x) и
j(a, b, c, …, k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.
Находим область определения данного неравенства.
Сводим неравенство к уравнению.
Выражаем а как функцию от х.
В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
Исследуем влияние параметра на результат.
найдём абсциссы точек пересечения графиков.
зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥
Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.
§3. Примеры
I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
данное неравенство равносильно системе неравенств
Если
, то решения исходного неравенства заполняют отрезок 
.Ответ:
, 
.II. При каких значениях параметра а имеет решение система
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства –
(*)Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован
ной области с окружностью, где
, а значения 
и 
находятся из системы 
а значения
и 
находятся из системы 
Решая эти системы, получаем, что
Ответ:
III. Решить неравенство
на 
в зависимости от значений параметра а.Решение.
Находим область допустимых значений –
Построим график функции в системе координат хОу.
при
неравенство решений не имеет.при
для 
решение х удовлетворяет соотношению 
, где 
Ответ: Решения неравенства существуют при
, где 
, причем при 
решения 
; при 
решения 
.IV. Решить неравенство
Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :
Разложим числитель на множители.
т. к.
то 
Разделим обе части равенства на
при 
. Но 
является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при 
. 
3. Строим в ПСК хОа графики функций
и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
| ? | точка | неравенство:  | вывод |
| 1 |  |  | - |
| 2 |  |  | + |
| 3 |  |  | - |
| 4 |  |  | + |
| 5 |  |  | - |
| 6 |  |  | + |
| 7 |  |  | - |
| 8 |  |  | + |
| 9 |  |  | - |
5. Найдем точки пересечения графиков