Численные методы (стр. 7 из 9)

Условия непрерывности первой производной

приводят к уравнениям

(3)

Из условий непрерывности второй производной получаем уравнения

. (4)

Объединяя (2) -(4) , получим систему

уравнений относительно неизвестных

Два недостающих условия получают, задавая те или иные граничные условия для

Предположим, например, что функция удовлетворяет условиям Тогда естественно требовать, чтобы Отсюда получаем

т.е.

Заметим, что условие

совпадает с уравнением (4) при . Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений для определения коэффициентов кубического сплайна:

Убедимся в том, что эта система имеет единственное решение. Исключим из (5)- (7) переменные и получим систему, содержащую только Для этого рассмотрим два соседних уравнения (7) :

и вычтем второе уравнение из первого.Тогда получим

Подставляя найденное выражение для

в правую часть уравнения (6), получим

(8)

Далее, из уравнения (5) получаем

И подставляя эти выражения в (8) , приходим к уравнению

Окончательно для определения коэффициентов

получаем систему уравнений

(9)

В силу диагонального преобладания система (9) имеет единственное решение. Так как матрица системы трехдиагональная, решение можно найти методом прогонки. По найденным коэффициентам

коэффициенты і определяются с помощь явных формул

(10)

Таким образом, доказано, что существует единственный кубический сплайн, определяемый условиями а)-в) и граничными условиями

Заметим , что можно рассматривать и другие граничные условия.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа

широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.

Рассмотрим некотрые широко используемые приемы приближенного вычисления определенных интегралов.

Квадратурные формулы.

Введем понятие квадратурные формулы. Пусть дан определенный интеграл

(1)

от непрерывной на отрезке

функции . Приближенное неравенство

(2)

где

- некоторые числа, - некотрые точки отрезка , называется квадратурной формулой, определяемой весами и узлами .

Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени

, если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени приближенное равенство (2) становится точным.

Рассмотрим наиболее простые квадратурные формулы.

Формула прямоугольников. Допустим, что

. Положим приближенно

(3)

где

, т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , аппроксимируется площадью прямоугольника, высота которого равна значению в средней точке основания трапеции .

Найдем остаточный член , т.е. погрешность формулы (3) .

Пусть

(4)

Так как

то согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеем

(5)

где

-некоторые точки ,

Функция

является первообразной для Поэтому для интеграла, стоящего в левой части приближенного равенства (3), из формулы Ньтона - Лейбница с расчетом (5) вытекает следующее соотношеие

Отсюда с помощью ранее доказанной леммы получаем формулу прямоугольников с остаточным членом :

(6)

Формула трапеций. Пусть

Полагаем

(7)

где

т.е. интеграл приближенно заменяется площадью заштрихованной трапеции, показанной на рисунке.

Найдем остаточный член, т.е. погрешность формулы (7). Выразим

і где - функция (4), по формуле Тейлора с остаточным членом в интегральной форме :

(8)

(9)

Согласно (8) имеем

(10)

Отделив в правой части (9) слагаемое

и заменив его выражением (10), с учетом того, что находим