Численные методы (стр. 8 из 9)

Преобразуем теперь второе слагаемое в правой части, используя обобщенную теорему о среднем.

* Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме

Теорема 1 (обобщенная теорема о среднем). Пусть

причем на Тогда существует такая точка что

Доказательство. Положим

(11)

Тогд, так как

то

и, следовательно,

Если

то и в качестве можн взять любую точку из

Если

то вытекает существование такого числа с, удовлетворяющего неравенствам ( для этого делим все части на ):

(12)

что

(13)

По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции в силу (11) , (12) найдется точка

, в которой что вместе с равенством (13) доказывает теорему .

Теперь, так как

то по доказанной теоремою

где

- некоторая точка . Подставляя полученное в , приходим к формуле трапеций с остаточным членом :

(14)

Формула Симпсона . Предположим, что

Интеграл приближенного заменяем площадью заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через точки де

Указанная парабола задается уравнением

в чем нетрудно убедиться, положив поочередно

(ее можно также получить, построив интерполяционный многочлен второй степени и приводя подобные ) Отсюда находи ( проверить самостоятельно)

Таким образом , формула Симпсона , называемая также формулой парабол , имеет вид

(15)

Положим

где -функция (4). Поскольку

то согласно формул Тейлора с остаточным членом в интегральной форме имеем

Отсюда получаем

(16)

т.к. остальные члены взаимно уничтожаются.

Поскольку

то применяя к интегралу (16) теорему 1 , а затем к полученному результату лемму, находим

(17)

где

нектрые точки.

Принимая во внимание, что

из (16), (17) приходим к формуле

(18) т.е. к формуле Симпсона с остаточным членом.

Рассмотрим квадратурные формулы прямоугольников (3), трапеций (7) и Симпсона (15) называются каноничными.

Усложненные квадратурные формулы.

На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл (1) , обычно делят заданный отрезок

на равных частей и на кождом частичном отрезке применяют какую-либо одну каноничную квадратурную формулу, а затем суммируют полученные результаты. Построенная таким путем квадратурная формула на отрезке называется усложненной. При применении формул прямугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно применять за , а при использовании формулы Симпсона - за .

Остановимся сначала на применении формулы прямоугольников. Пусть

Обозначим частичные отрезки через

где

В соответствии с (3) полагаем

(19)

где

значение в середине частичного отрезка . При этом справедливо аналогичное (6) равенство

(20) где некоторая точка.

Суммирование по всем частичным отрезкам приближенного равенства (19) приводит к усложненной квадратурной формуле прямоугольников:

(21)

а суммирование равенств (20) с учетом того,что по лемме

где

-некоторая точка отрезка , дает усложненную формулу прямоугольников с остаточным членом:

(22) Совершенно àíàëîãè÷íî при услвии, что с использованием формул (7), (14) получается усложненная квадратурная формула трапеций

(23)

и отвечающая ей формула с остаточным членом

(24)

где

некоторая точка.

Пусть теперь

и, как обычно, Перепишем каноническую квадратурную формулу Симпсона (15) применительно к отрезку длины :