Математическая статистика (стр. 3 из 14)
Продемонстрируем первый путь отыскания закона распределения.
Пусть важной для нас случайной величиной является целое число, образуемое по следующему правилу: мы трижды бросаем симметричную монетку, выпадение герба считаем числом 1 (в противном случае 0) и после трех бросаний определяем сумму S.
Ясно, что эта сумма может принимать любое значение в диапазоне 0…3, но всё же - каковы вероятности P(S=0), P(S=1), P(S=2), P(S=3); что можно о них сказать, кроме очевидного вывода - их сумма равна 1?
Попробуем построить схему интересующих нас событий. Обозначим через p вероятность получить 1 в любом бросании, а через q=(1–p) вероятность получить 0. Сообразим, что всего комбинаций ровно 8 (или 23), а поскольку монетка симметрична, то вероятность получить любую комбинацию трех независимых событий (000,001,010…111) одна и та же: q3 = q2·p=…= p3 = 0.125 . Но если p # q , то варианты все тех же восьми комбинаций будут разными:
Таблица 1-1
| Первое бросание | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Второе бросание | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Третье бросание | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Сумма S | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 |
| Вероятность P(S) | q3 | q2·p | q2·p | q·p2 | q2·p | q·p2 | q·p2 | p3 |
Запишем то, что уже знаем - сумма вероятностей последней строки должна быть равна единице:
p3 +3·q
p2 + 3·q2·p + q3 = (p + q)3 = 1.Перед нами обычный бином Ньютона 3-й степени, но оказывается - его слагаемые четко определяют вероятности значений случайной величины S !
Мы “открыли” закон распределения СВ, образуемой суммированием результатов n последовательных наблюдений, в каждом из которых может появиться либо 1 (с вероятностью p), либо 0 (с вероятностью 1– p).
Итог этого открытия достаточно скромен:
· возможны всего N = 2 n вариантов значений суммы;
· вероятности каждого из вариантов определяются элементами разложения по
степеням бинома (p + q) n ;
· такому распределению можно дать специальное название -биномиальное.
Конечно же, мы опоздали со своим открытием лет на 300, но, тем не менее, попытка отыскания закона распределения с помощью построения схемы событий оказалась вполне успешной.
В общем случае биномиальный закон распределения позволяет найти вероятность события S = k в виде
P(S=k)=
·pk·(1– p)n-k, {2–1} где - т.н. биномиальные коэффициенты, отыскиваемые из известного “треугольника Паскаля” или по правилам комбинаторики - как число возможных сочетаний из n элементов по k штук в каждом: = n·(n –1)· ...·(n – k + 1)/ (1·2· .... · k). {2–2}Многие дискретные СВ позволяют построить схему событий для вычисления вероятности каждого из допустимых для данной случайной величины значений.
Конечно же, для каждого из таких, часто называемых "классическими", распределений уже давно эта работа проделана – широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля и Пуассона и многие другие.
Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.
Сегодня положение изменилось – нет нужды хранить данные расчетов по формулам (как бы последние не были сложны!), время на использование закона распределения для практики сведено к минутам, а то и секундам.
Уже сейчас существует достаточное количество разнообразных пакетов прикладных компьютерных программ для этих целей. Кроме того, создание программы для работы с некоторым оригинальным, не описанным в классике распределением не представляет серьезных трудностей для программиста “средней руки”.
Приведем примеры нескольких распределений для дискретных СВ с описанием схемы событий и формулами вычисления вероятностей. Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и обозначая (1– p) = q.
Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность P(X= k) =
·pk·qn-k .·Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля)
Пусть Y – число посетителей, достаточное для того, чтобы k из них оказались покупателями. Тогда вероятность того, что n–й посетитель окажется k–м покупателем составит P(Y=n)=
·pk·qn–k. Если Y – число посетителей, достаточное для того, чтобы один из них оказался
покупателем, то P(Y=1)= p·qn–1.
Если ваш магазин посещают довольно часто, но при этом весьма редко делают покупки, то вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, – дня) составит P(Z=k) = lk ·Exp(-l) / k! , где l – особый показатель распределения, так называемый его параметр.
2.3Односторонние и двухсторонние значения вероятностей
Если нам известен закон распределения СВ (пусть – дискретной), то в этом случае очень часто приходится решать задачи, по крайней мере, трех стандартных типов:
· какова вероятность того, что случайная величина X окажется равной (или наоборот – не равной) некоторому значению, например – Xk ?
· какова вероятность того, что случайная величина X окажется больше (или наоборот – меньше) некоторого значения, например –Xk ?
· какова вероятность того, что случайная величина X окажется не меньше Xi и при этом не больше Xk ?
Первую вероятность иногда называют "точечной", ее можно найти из закона распределения, но только для дискретной случайной величины. Разумеется, что вероятность равенства задана самим законом распределения, а вероятность неравенства составляет
P(X#Xk) = 1 – P(X=Xk).
Вторую вероятность принято называть "односторонней". Вычислять ее также достаточно просто – как сумму вероятностей всех допустимых значений, равных и меньших Xk . Для примера "открытого" нами закона биномиального распределения при p=0.5 и m=4 одностороння вероятность того, что X окажется менее 3 (т.е.0, 1 или 2), составит точно 0.0625+0.25+0.375=0.6875.
Вероятность третьего типа называют "двухсторонней" и вычисляют как сумму вероятностей значений X внутри заданного интервала. Для предыдущего примера вероятность того, что X менее 4 и более 1 составит 0.375+0.25=0.625.
Односторонняя и двухсторонняя вероятности являются универсальными понятиями – они применимы как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.
2.4Моменты распределений дискретных случайных величин.
Итак, закон распределения вероятностей дискретной СВ несет в себе всю информацию о ней и большего желать не приходится.
Не будет лишним помнить, что этот закон (или просто – распределение случайной величины) можно задать тремя способами:
· в виде формулы: например, для биномиального распределения при n=3 и p=0.5 вероятность значения суммы S=2 составляет 0.375;
· в виде таблицы значений величины и соответствующих им вероятностей:
· в виде диаграммы или, как ее иногда называют, гистограммы распределения:
Таблица 2–1
| Сумма | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Вероятность | 0.125 | 0.375 | 0.375 | 0.125 |
Рис. 2–1 Гистограмма распределения
Необходимость рассматривать вопрос, поставленный в заглавии параграфа, не так уж и очевидна, поскольку непонятно, что же еще нам надо знать?
Между тем, все достаточно просто. Пусть, для какого–то реального явления или процесса мы сделали допущение (выдвинули гипотезу), что соответствующая СВ принимает свои значения в соответствии с некоторой схемой событий. Рассчитать вероятности по принятой нами схеме – не проблема!