Математическая статистика (стр. 4 из 14)

Вопрос заключается в другом – как проверить свое допущение или, на языке статистики, оценить достоверность гипотезы?

По сути дела, кроме обычного наблюдения за этой СВ у нас нет иного способа выполнить такую проверку. И потом – в силу самой природы СВ мы не можем надеяться, что через достаточно небольшое число наблюдений их частоты превратятся в “теоретические” значения, в вероятности. Короче – результат наблюдения над случайной величиной тоже … случайная величина или, точнее, – множество случайных величин.

Так или примерно так рассуждали первые статистики–профессионалы. И у кого–то из них возникла простая идея: сжать информацию о результатах наблюдений до одного, единственного показателя!

Как правило, простые идеи оказываются предельно эффективными, поэтому способ оценки итогов наблюдений по одному, желательно “главному”, “центральному” показателю пережил все века становления прикладной статистики и по ходу дела обрастал как теоретическими обоснованиями, так и практическими приемами использования.

Вернемся к гистограмме рис. 2–1 и обратим внимание на два, бросающихся в глаза факта:

· “наиболее вероятными” являются значения суммы S=1 и S=2 и эти же значения лежат “посредине” картинки;

· вероятность того, что сумма окажется равной 0 или 1, точно такая же, как и вероятность 2 или 3, причем это значение вероятности составляет точно 50 %.

Напрашивается простой вопрос – если СВ может принимать значения 0, 1, 2 или 3, то сколько в среднем составляет ее значение или, иначе – что мы ожидаем, наблюдая за этой величиной?

Ответ на такой вопрос на языке математической статистики состоит в следующем. Если нам известен закон распределения, то, просуммировав произведения значений суммы S на соответствующие каждому значению вероятности, мы найдем математическое ожидание этой суммы как дискретной случайной величины –

M(S) = S S _i ·P(S _i). {2–3}

В рассматриваемом нами ранее примере биномиального распределения, при значении p=0.5, математическое ожидание составит

M(S) = 0·0.125+1·0.375+2·0.375+3·0.125= 1.5 .

Обратим внимание на то, что математическое ожидание дискретной величины типа Int или Rel совсем не обязательно принадлежит к множеству допустимых ее значений. Что касается СВ типа Nom или Ord, то для них понятие математического ожидания (по закону распределения), конечно же, не имеет смысла. Но так как с номинальной, так и с порядковой шкалой дискретных СВ приходится иметь дело довольно часто, то в этих случаях прикладная статистика предлагает особые, непараметрические методы.

Продолжим исследование свойств математического ожидания и попробуем в условиях нашего примера вместо S рассматривать U= S – M(S). Такая замена СВ (ее часто называют центрированием) вполне корректна: по величине U всегда можно однозначно определить S и наоборот.

Если теперь попробовать найти математическое ожидание новой (не обязательно дискретной) величины M(U) , то оно окажется равным нулю, независимо от того считаем ли мы конкретный пример или рассматриваем такую замену в общем виде.

Мы обнаружили самое важное свойство математического ожидания – оно является “центром” распределения. Правда, речь идет вовсе не о делении оси допустимых значений самой СВ на две равные части. Поистине – первый показатель закона распределения “самый главный” или, на языке статистики, – центральный.

Итак, для СВ с числовым описанием математическое ожидание имеет достаточно простой смысл и легко вычисляется по законам распределения. Заметим также, что математическое ожидание – просто числовая величина (в общем случае не дискретная, а непрерывная) и никак нельзя считать ее случайной.

Другое дело, что эта величина зависит от внутренних параметров распределения (например, – значения вероятности р числа испытаний n биномиальном законе).

Так для приведенных выше примеров дискретных распределений математическое ожидание составляет:

Тип распределения	Математическое ожидание
Биномиальное	n·p
Распределение Паскаля	k ·q / p
Геометрическое распределение	q / p
Распределение Пуассона	l

Возникает вопрос – так что же еще надо? Ответ на этот вопрос можно получить как из теории, так и из практики.

Один из разделов кибернетики – теория информации (курс “Основы теории информационных систем” у нас впереди) в качестве основного положения утверждает, что всякая свертка информации приводит к ее потере. Уже это обстоятельство не позволяет допустить использование только одного показателя распределения СВ – ее математического ожидания.

Практика подтверждает это. Пусть мы построили (или использовали готовые) законы распределения двух случайных величин X и Y и получили следующие результаты:

Таблица 2–2

Значения	1	2	3	4
P(X) %	12	38	38	12
P(Y) %	30	20	20	30