Соотношение неопределенностей “число фотонов – фаза” . Используемые в квантовой теории соотношение неопределенностей отнюдь не исчерпываются вышеприведенными соотношениями. В качестве еще одного такого соотношения укажем соотношения неопределенностей для числа фотонов и фазы волны.
Пусть имеется монохроматическое излучение частотой ω. С одной стороны, оно может рассматриваться как коллектив фотонов, каждый из которых имеет энергию hω; с другой стороны – как классическая электромагнитная волна. Пусть N – число фотонов в рассматриваемом объеме, Ф = ωt – фаза классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов N) и волновая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно определенные значения; существует соотношения неопределенностей ΔNΔΤ > 1.
Чтобы прийти к этому соотношению, будем исходить из соотношения неопределенности для энергии и времени. Напомним, что для измерения энергии квантового объема ΔΕ νΰдо затратить время Δt > h / ΔE. Ερли в качестве квантового объекта рассматривается коллектив фотонов, то в этом случае ΔE = hΔNω, γδе ΔN – неопределенность числа фотонов. В течение времени Δt, необходимого для измерения энергии объекта с точностью до hΔNω, τΰза Ф объекта изменится на величину ΔФ = ωΔt. Οξдставляя сюда соотношение Δt > h / hωΔN, νΰходим ΔФ > 1 / ΔN, что и требовалось показать.
В соотношении ΔNΔΤ > 1 ξтразилось противоречивое единство корпускулярных и волновых свойств излучения. Неопределенность ΔФ мала, когда ярко выражены волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико N) , а следовательно, и неопределенность ΔN. С другой стороны, неопределенность ΔN мала, когда в коллективе мало фотонов; в этом случае ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика неопределенность ΔФ.
4. Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей.
Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.
В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии. Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной частицы, движущейся в кулоновском поле Е = p2 / 2m - e2 / r, где m и е – соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Согласно соотношению ΔpxΔx > h, эти величины связаны друг с другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r из формулы. Получим E(p) = p2 / 2m - e2p / h.
Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р1; обозначим его через Е1. Величину Е1 можно рассматривать как оценку энергии основного состояния атома водорода, а величину r1 = h / p1 – как оценку линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты) . Приравнивая к нулю производную, находим р1 = me2 / h. Отсюда немедленно получаем искомые оценки: r1 = h2 / me2, E1 = -me4 / 2h2.
Эти оценки полностью совпадают с результатами строгой теории. Конечно, к такому полному совпадению надо относится в известной мере как к случайному успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок величин. Подчеркнем, что этот порядок, как мы видим, оценивается весьма просто: достаточно заменить в классическом выражении точными значениями динамических переменных величинами, характеризующими степень “размытия” этих переменных, т.е. их неопределенностями, а затем воспользоваться квантомеханическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности.
Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора. Будем действовать точно так же, как и в предыдущем примере. Энергия классического одномерного гармонического осциллятора описывается выражением E = px2 / 2m + mω2x2 / 2.
Рассматривая px и х как неопределенности импульса и координаты осциллирующего микрообъекта и пользуясь в качестве соотношения неопределенностей равенством pxх = h, получаем Е(px) = px2 / 2m + mω2h2 / 2px2 .
Приравнивая к нулю производную, находим величину р0 = mωh, οπи которой функция Е(px) принимает минимальное значение. Легко убедится, что это значение равно Е = Е(p0) = hω.
Этот результат весьма интересен. Он показывает, что в квантовой механике энергия осциллятора не может обратиться в нуль; ее минимальное значение оказывается порядка hω. Это есть так называемая энергия нулевых колебаний.
Учитывая существование нулевых колебаний, можно прийти, в частности, к следующему интересному заключению: энергия колебательного движения атомов кристалла не обращается в не обращается в нуль даже при температуре абсолютного нуля.
Нулевые колебания иллюстрируют принципиальное общее обстоятельство: нельзя реализовать микрообъект на “дне потенциальной ямы” , или, иначе говоря, “микрообъект не может упасть на дно потенциальной ямы” . Этот вывод не зависит от вида потенциальной ямы, так как является прямым следствием соотношений неопределенности импульса; в этом случае неопределенность координаты должна стать сколь угодно большой, что противоречит самому факту пребывания микрообъекта в потенциальной яме.
Оценка величины “размытия” края полосы оптического поглощения в эффекте Франца-Келдыша. Суть эффекта, исследованного в 1958 г. Келдышем и независимо от него Францем, состоит в следующем 6 во внешнем однородном электрическом поле минимум энергии электронов в зоне проводимости в полупроводнике смещается вниз по энергетической шкале, что приводит к “размытию” края основной полосы оптического поглощения (в результате становится возможным поглощение фотонов, энергия которых меньше ширины поглощенной зоны) . Характеризующая указанное “размытие” величина энергетических смещения электронных состояний может быть оценена таким же методом, каким были получены предыдущие оценки. Воспользуемся классическим выражением для энергии заряженной частицы в электрическом поле напряженностью ε: E = px2 / 2m - εex.
Здесь m – эффективная масса электрона в зоне проводимости. Рассматривая px и x как неопределенности импульса и координаты электрона и пользуясь в качестве соотношений неопределенностей равенством pxx = h, получаем E(px) = px2 / 2m - εeh / px.
Далее, как обычно, приравниваем к нулю производную и находим значение р0 = - εehm, οπи котором функция Е(px) достигает минимума: Е0 = 3/2 (εeh) 2 / m (εeh) 2 / m.
Это выражение как раз и дает оценку величины “размытия” края основной полосы оптического поглощения в эффекте Франца-Келдыша.
Почему электрон не падает на ядро? Постулируя стационарные состояния, теория Бора не объяснила, почему все-таки электрон, двигаясь ускоренно, не излучает и не падает в результате на ядро. Соотношение ΔpxΔx > h объясняет это обстоятельство. Падение электрона на ядро означало бы, очевидно, существенное уменьшение неопределенности его координаты: если до падения на ядро электрон был локализован в пределах атома, т.е. в области пространства, размеры которого порядка 10-8 см, то после падения на ядро электрон должен будет локализоваться в области с линейными размерами меньше 10-12 см. Более сильная локализация, как мы знаем, микрообъекта в пространстве связана с “размытием” его импульса, поэтому при падении на ядро среднее значение импульса электрона должно возрасти, для чего требуется затрата энергии. Получается, что нужно усилие отнюдь не для того, чтобы “удержать” электрон от падения на ядро, а совсем наоборот – нужно усилие, чтобы заставить электрон локализоваться в пределах ядра.
На примере нулевых колебаний осциллятора отмечалось, что микрообъект в потенциальной яме всегда имеет отличную от нуля минимальную энергию Е0. Величина Е0 зависит, в частности, от пространственных размеров ямы (от ее ширины а, определяющей степень пространственной локализации микрообъекта) . Учитывая соотношения неопределенностей, легко сообразить, что Е0 h2 / ma2.
Если а уменьшается, то Е0 растет. При достаточно малом а энергия Е0 может стать больше глубины потенциальной ямы. Ясно, что в такой яме микрообъект вообще не реализуется.
Падение электрона на ядро соответствует уменьшению ширины потенциальной ямы от 10-8 до 10-12 см. При этом минимальная энергия должна возрастать – от 10 до 109 эВ (и больше) . В результате минимальная энергия электрона оказывается на несколько порядков больше энергии связи нуклона в атомном ядре. Это значит, что в ядерной потенциальной яме электрон вообще не реализуется, так что никаким образом даже “насильно” нельзя его заставить локализоваться в пределах ядра.
Тем самым не только снимается “проблема падения электрона на ядро” , но и решается другой принципиальный вопрос: в состав атомного ядра электроны не входят.
О “траектории” микрообъекта. Чтобы начертить траекторию некоей частицы, надо, строго говоря, для каждого момента времени знать координату и импульс частицы. Поскольку, согласно соотношению неопределенностей ΔpxΔx > h, микрообъект не может иметь и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса, то отсюда следует вывод: понятие траектории к микрообъекту, строго говоря, неприменимо.
Отказ от траектории связан с наличием у микрообъектов волновых свойств, которые не позволяют рассматривать микрообъекты как классические корпускулы. С перемещением микрообъекта вдоль оси х нельзя сопоставлять дифференцируемую функцию х(t) , столь широко используемую в механике классических объектов; по известному значению х в некоторый момент t нельзя предсказать значение координаты микрообъекта в момент t+dt.