Операторные уравнения (стр. 2 из 6)

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.

.

Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

,

.

Но при этом

(ибо и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства (I – C)S = I и S(I – C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I – C)-1. Далее,

,

.

Переходя в этих неравенствах к пределу при

, получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А Î L(X,Y) непрерывно обратим.

Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство

. Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки

, .

§4. Абстрактные функции

Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.

Рассмотрим функцию x(

) с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.

Пусть x(

) определена в окрестности точки 0, за исключением, быть может, самой точки 0. Элемент а Î X будем называть пределом функции x( ) при → 0 и записывать

при → 0,

если

при → 0.

Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметра

.

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида

, где xк Î X, а – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную – 0 = , то в дальнейшем мы полагаем 0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

(1)

Конечная сумма

называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть

– множество всех точек , для которых ряд (1) сходится. называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при

Î обозначим через S( ) (это абстрактная функция, определенная на со значениями в X), при этом будем писать

, при Î .

Последнее равенство означает, что Sn(

) → S( ) при n→∞ для всех Î .

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î

. Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). Пусть

0 ≠ 0 и 0 Î , тогда круг содержится в . Во всяком круге Sr(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно .

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты:

(k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция

числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.

По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если

имеет производную в точке λ0, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x(

) будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой окрестности точки =0 сходящимся степенным рядом:

(1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x(

) – аналитическая абстрактная функция при =0, то x( ) непрерывна в круге SR(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x(

) – аналитическая абстрактная функция при =0, то x( ) дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x(

) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида