Операторные уравнения (стр. 4 из 6)
8.2. Простейший случай продолжения по параметру
Приведем здесь доказательство теоремы 14 для случая, когда
. Согласно условию этой теоремы 
. По замечанию 14 
. Имеем следующую оценку: 
.Пусть
, где 
. На [0, δ] имеем 
, и, следовательно, по теореме 9 А(λ) при всяком непрерывно обратим. Если окажется, то 
, то теорема доказана.Пусть δ < 1. Возьмем А(δ). Согласно замечанию п.14.1
. Повторяем наши рассуждения при λ>δ. Имеем оценку 
,если
, откуда А(λ) непрерывно обратим при каждом . Если 
, то теорема доказана. Если же 2δ < 1, то 
и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки λ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.Доказательство теоремы в общем случае
Рассмотренный выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.
Лемма. Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].
Замечание 1. условие открытости М на [0,1] понимается так: для любого
существует δ > 0 такое, что 
.Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Æ – пустое множество. Допустим противное, что N ¹Æ. Поскольку М ¹Æ и ограничено сверху, то существует b = supM, причем b Î M вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x Î M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1Î М.
Теперь рассмотрим множество N. Как дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 Î N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречие доказывает, что допущение N ¹Æ неверно. Итак, N= Æ, т.е. М = [0, 1]. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1
для всех λ Î М. М не пусто, поскольку 0 Î [0, 1]. 
воспользуемся непрерывностью оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î [0, 1] таких, что
< δ выполняется неравенство 
<e.Возьмем e = γ, тогда при
< δ(γ), λ Î [0, 1] 
<1.По теореме 9 §3 А(λ) непрерывно обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ0 М содержит
, т.е. М открыто на [0, 1].Докажем, что М замкнуто на [0, 1]. Пусть
и 
при 
. Надо доказать, что λ0 М. воспользуемся неравенством 
и получим 
.Вследствие непрерывности А(λ) по λ для любого e > 0 находим номер N = N(e) такой, что при n > N будет
<e. Возьмем e = γ, тогда для n = N(γ)+1 
<1.По теореме 9 А(λ0) непрерывно обратим, т.е. λ0 Î М, и, значит, М замкнуто на [0, 1]. По лемме М = [0, 1] . в частности, 1Î М и
. Теорема полностью доказана.Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:
А(λ)х = у, λÎ [0, 1]. (1*)
Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком λÎ [0, 1] справедлива оценка
, (2*)где с – некоторая постоянная, не зависящая от х, у и λ. Оценка такого рода называется априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно, априорная оценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1):
.Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.
Глава 2. Приложение
Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:
(1)Это уравнение вида А(
)х = у( ) – операторное уравнение в С[-π; π], где 
Покажем, что А(
) аналитична в т. 0, т.е. разлагается в ряд вида 
. Разложим функцию А( ) в ряд Тейлора: 
.Найдем к – ую производную:
Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:
Таким образом, функция аналитична, следовательно, непрерывна при
= 0, а значит, уравнение имеет единственное решение.Операторные коэффициенты имеют вид:
; 
(2)I. Начнем с уравнения А0x0 = y системы (4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ≥ 1.
Заменим,
, поэтому 
, (4)где
, 
Для того, чтобы найти коэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:
,подсчитаем интегралы:
, 
, 
Тогда, подставив в уравнение, получаем:
. Отсюда: 
. (5)Найдем коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:
.Подсчитав соответствующие интегралы:
, 
, 
, подставив и выразив В, получаем: