Комплексные числа (стр. 2 из 5)
2 Способ:
 |
5.ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z1 и Z2 существует, и притом только одно, число Z, такое, что:
Z + Z2=Z1
Если к обеим частям равенства прибавить (–Z2) противоположное числу Z2:
Z+Z2+(–Z2)=Z1+(–Z2), откуда
Z = Z1 – Z2
Число Z=Z1+Z2 называют разностью чисел Z1 и Z2.
Деление вводится как операция, обратная умножению:
Z×Z2=Z1
Разделив обе части на Z2 получим:
Z=
Из этого уравнения видно, что Z2
0  |
Геометрическое изображение разности комплексных чисел
| Рисунок 4 |
Разности Z2 – Z1 комплексных чисел Z1 и Z2, соответствует разность векторов, соответствующих числам Z1 и Z2. Модуль
разности двух комплексных чисел Z2 и Z1 по определению модуля есть длина вектора Z2 – Z1. Построим этот вектор, как сумму векторов Z2 и (–Z1) (рисунок 4). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.Это важное геометрическое истолкование модуля разности двух комплексных чисел позволяет с успехом использовать простые геометрические факты.
Пример 2: Даны комплексные числа Z1= 4 + 5·i и Z2= 3 + 4·i. Найти разность Z2 – Z1 и частное
Z2 – Z1 = (3 + 4·i) – (4 + 5·i) = –1 – i
= 
= 
6.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
 Рисунок 5 |
Запись комплексного числа Z в виде A+B·i называется алгебраической формой комплексного числа. Помимо алгебраической формы используются и другие формы записи комплексных чисел.
Рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексного числа. Действительная и мнимая части комплексного числа Z=A+B·i выражаются через его модуль
= r и аргумент j следующим образом:A= r·cosj ; B= r·sinj.
Число Z можно записать так:
Z= r·cosj+ i·
·sinj = r·(cosj + i·sinj)Z = r·(cosj + i·sinj) (2)
Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.
r =
– модуль комплексного числа.Число j называют аргументом комплексного числа.
Аргументом комплексного числа Z
0 называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если производится по часовой стрелке.Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число задается только своим модулем.
Как уже говорилось выше
= r = 
, равенство (2) можно записать в видеA+B·i=
·cosj + i· ·sinj, откуда приравнивая действительные и мнимые части, получим:cosj =
, sinj = 
(3)Если sinj поделить на cosj получим:
tgj= 
(4)
Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента j, чем формулы (3). Однако не все значения j, удовлетворяющие равенству (4), являются аргументами числа A+B·i . Поэтому при нахождении аргумента нужно учесть, в какой четверти расположена точка A+B·i.
7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и частное комплексных чисел.
Пусть Z1= r1·(cosj1 + i·sinj1), Z2 = r2·(cosj2 + i·sinj2). Тогда:
Z1Z2= r1·r2[cosj1·cosj2 – sinj1·sinj2 + i·( sinj1·cosj2 + cosj1·sinj2)]=
= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)].
Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
Z1Z2= r1·r2[cos(j1 + j2) + i·sin(j1 + j2)] (5)
Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Если Z1=Z2 то получим:
Z2=[r·(cosj + i·sinj)]2= r2·(cos2j + i·sin2j)
Z3=Z2·Z= r2·(cos2j + i·sin2j)·r·(cosj + i·sinj)=
= r3·(cos3j + i·sin3j)
Вообще для любого комплексного числа Z= r·( cosj + i·sinj) 
0 и любого натурального числа n справедлива формула:
Zn =[ r·(cosj + i·sinj)]n= rn·( cosnj+ i·sinnj), (6)
которую называют формулой Муавра.
Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:
[ cos(j1 – j2) + i·sin(j1 – j2)]. (7)
= 
= cos(–j2) + i·sin(–j2)
Используя формулу 5
(cosj1 + i·sinj1)×( cos(–j2) + i·sin(–j2)) =
cos(j1 – j2) + i·sin(j1 – j2).
Пример 3:
Z3 = –8
Число –8 запишем в тригонометрической форме
8 = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Пусть Z = r×(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:
r3×(cos3j + i×sin3j) = 8·( cos(p + 2pk) + i·sin(p + 2pk)), kÎZ
Тогда 3j =p + 2pk, kÎZ
j = 
, kÎZ
r3 = 8
r = 2
Следовательно:
Z = 2·( cos(
) + i·sin( )), kÎZk = 0,1,2...
k = 0
Z1 = 2·( cos
+ i·sin ) = 2·( 
i) = 1+ 
×ik = 1
Z2 = 2·( cos(
+ 
) + i·sin( + )) = 2·( cosp + i·sinp) = –2