Комплексные числа (стр. 4 из 5)
D = b2 – 4×a×c
положителен , то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет один корень. Если D < 0, то уравнение a×Z2 + b×Z + c = 0 имеет два различных комплексных корня.
Комплексные корни квадратного уравнения обладают такими же свойствами, как и известные нам свойства действительных корней.
Сформулируем основные из них:
Пусть Z1,Z2 – корни квадратного уравнения a×Z2 + b×Z + c = 0, a
0. Тогда справедливы свойства:Теорема Виета: Z1 + Z2 = –
Z1×Z2 =
2. При всех комплексных Z справедлива формула
a×Z2 + b×Z + c = a×(Z – Z1)×(Z – Z2)
Пример 5:
Z2 – 6·Z + 10 = 0
Д = b2 – 4·a·c
Д = 62 – 4·10 = – 4
– 4 = i2·4
Z1,2 =
Z1,2 =
Ответ: Z1 = Z2 = 3 + i
Пример 6:
3·Z2 +2·Z + 1 = 0
Д = b2 – 4·a·c
Д = 4 – 12 = – 8
Д = –1·8 = 8·i2
Z1,2 =
= 
Z1,2 =
Z1 = – (
)Z2 = –
Ответ: Z1 = Z2 = –
Пример 7:
Z4 – 8·Z2 – 9 = 0
Z2 = t
t2 – 8·t – 9 = 0
Д = b2 – 4·a·c = 64 + 36 = 100
t1,2 =
= 
= 4 
t1 = 9 t2 = – 1
Z2 = 9 Z2 = – 1
Z1,2 =
3 Z = 
Z3,4 =
iОтвет: Z1,2 =
3, Z3,4 = iПример 8:
Z4 + 2·Z2 – 15 = 0
Z2 = t
t2 + 2·t – 15 = 0
Д = b2 – 4·a·c = 4 + 60 = 64
t1,2 =
= 
= –1 4t1 = – 5 t2 = 3
Z2 = – 5 Z2 = 3
Z2 = – 1·5 Z3,4 =
Z2 = i2·5
Z1,2 =
i 
Ответ: Z1,2 =
i , Z3,4 = Пример 9:
Z2 = 24 – 10·i
Пусть Z = X + Y·i
(X + Y·i)2 = X2 + 2·X·Y·i –Y2
X2 + 2·X·Y·i – Y2 = 24 – 10·i
= 24 
умножим на X2 
0
Y2 = 
 |
( 2 – Y)2 + 3·( 2 – Y)·Y + Y2 = 6
4 – 4·Y + Y2 + 6·Y – 3·Y2 + Y2 = 6
–Y2 + 2Y – 2 = 0 /–1
Y2 – 2Y + 2 = 0
Д = b2 – 4·a·c = 4 – 8 = – 4
– 4 = – 1·4 = 4· i2
Y1,2 =
= 
= 1 iY1 = 1– i Y2 = 1 + i
 |
w10×
12 = 1w10×
10 × 2 = 1(w×
)10× 2 = 1(
)10× 2 = 1т.к. w = A + B×i
= A – B×iw×
= (A + B×i)·( A – B×i) = A2 – (B×i)2 = A2 + B2 = 2 = w× т.е.
20· 2 = 1Возьмем модуль от обоих частей последнего уравнения:
20· 
2 = 1 22 = 1т.е.
= 1Тогда из уравнения получим
2 = 1т.е.
= 
1w1 = 1 w2 = –1
Подставим эти значения в первое уравнение данной системы и найдем численное значение Z