Геометрия Лобачевского (стр. 2 из 13)
II2.Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С на прямой АВ, такая, что А — В — С.
IIз. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.
По Гильберту, отрезком АВ (или ВА) называется пара точек A и B. Точки А и В называются концами отрезка, а любая точка, лежащая между ними,— внутренней точкой отрезка или просто точкой отрезка.
II4 (аксиома Паша). Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, а а — прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а проходит через точку отрезка АВ, то она проходит также через точку отрезка АС или ВС.
Можно доказать, что утверждение, сформулированное в аксиоме Паша, верно и в том случае, когда точки А, В и С лежат на одной прямой. Нетрудно также доказать, что если прямая а пересекает какие-либо два из трех отрезков АВ, ВС и АС, то она не пересекает третий из этих отрезков.
С помощью аксиом групп I и II доказываются многие факты геометрии и вводится ряд основных определений. Прежде всего можно доказать, что между любыми точками существует по крайней мере одна точка, а отсюда легко прийти к выводу, что любой отрезок (а следовательно, и любая прямая) содержит бесконечное множество точек. Заметим, однако, что с помощью аксиом I и II групп нельзя доказать, что это множество несчетное. В дополнение к аксиоме IIз можно доказать, что из трех точек прямой всегда одна точка лежит между двумя другими.
Аксиомы групп I и II позволяют ввести такие важные понятия геометрии, как понятия полуплоскости, луча и полупространства. В качестве примера введем понятие полуплоскости. Предварительно докажем следующую теорему о полуплоскости.
Теорема. Прямая а, лежащая в плоскости α, разделяет множество точек, этой плоскости, не лежащих на прямой а, на два непустых подмножества так, что если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а; если же эти точки принадлежат разным подмножествам, то отрезок АВ имеет общую точку с прямой а.
доказательство
Каждое из подмножеств точек, определяемых предыдущей теоремой, называется полуплоскостью плоскости α с границей а.
Группа III. Аксиомы конгруэнтности.
Предполагается, что отрезок (угол) находится в известном отношении к какому-то отрезку (углу). Это отношение выражается словом «конгруэнтен» и обозначается символом « 
». Должны быть удовлетворены следующие пять аксиом.
III1. Если даны отрезок АВ и луч, исходящий из точки А', то существует точка В', принадлежащая данному лучу, такая, что АВ А'В'.
Можно доказать, что точка В' на данном луче единственная.
III2. Если А'В' АВ и А"В" АВ, то А'В' А"В".
IIIз. Пусть А - В - С, А' - В' - С', АВ А'В' и ВС В'С'. Тогда АС А'С'.
III4. Пусть даны 
hkи флаг (О', h', λ'). Тогда в полуплоскости λ’ существует один и только один луч k', исходящий из точки О', такой, что hk h'k'.
Каждый угол конгруэнтен самому себе.
III5. Пусть А, В, С — три точки, не лежащие на одной прямой, и А', В', С' — тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом
АВ А'В', АС А'С'. 
BAC В'А'С', то АВС А'В'С'.
Укажем некоторые теоремы, которые следуют из аксиом конгруэнтности.
1. Отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности на множестве отрезков.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
По Гильберту, треугольник ABCназывается конгруэнтным треугольнику
А'В'С' (∆АВС ∆А'В'С’), если АВ А'В', ВС В'С', СА С'А', АА АА', АВ АВ', АС АС'.
3. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников.
4. Отношение конгруэнтности углов является отношением эквивалентности на множестве углов.
5. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, несмежного с ним.
6. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона."
7. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
8. Любой угол имеет одну и только одну биссектрису.
Группа IV. Аксиомы непрерывности.
IV1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD— какие-нибудь отрезки. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А1, А2, ..., Аn, таких, что выполняются условия: а) А — А1 — A2,, A1— А2 — Аз, ..., An - 2 — An - 1 — An; б) АА1 A1A2 ... Аn – 1An CD; в) А — В — An.
IV2 (аксиома Кантора). Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрезков А1В1, A2B2, …, из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего и, кроме того, для любого отрезка CDнайдется натуральное число п, такое, что АnВn< CD. Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
Группа V. Аксиома параллельности.
Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей а.
В §3 мы доказали, что эта аксиома эквивалентна V постулату Евклида.
Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому
Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) основана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.
V*. Пусть а — произвольная прямая, а А — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.
Ясно, что все определения и теоремы абсолютной геометрии имеют место и в геометрии Лобачевского. Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две прямые, которые обозначим через bи с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 2-1). Прямые bи с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2-1 обозначены цифрами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые bи с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, любая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри вертикальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые l и dна рис. 2-1).
В отличие от определения параллельных прямых по Евклиду в геометрии Лобачевского параллельными к данной прямой называются (только некоторые прямые из тех, которые не пересекают данную прямую. Чтобы ввести это понятие, условимся считать, что все прямые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, считая, что точка Uпредшествует точке V. Предполагается также, что точки Uи Vвыбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками Uи V.
