Геометрия Лобачевского (стр. 4 из 13)
3°. Если в двупрямоугольнике ABCDс основанием АВ 
С < D, то AD< ВС.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского
Лемма 1. Если АВ || CD, то существует ось симметрии прямыхАВ и CD.
доказательство
Пользуясь этой леммой, легко доказать, что отношение параллельности направленных прямых удовлетворяет условию симметричности, т. е. справедлива теорема.
Теорема 1. Если АВ || CD, то CD || АВ.
доказательство
Теорема 2. Если АВ \ EF, EF \ CD и прямые АВ и CD не совпадают, то АВ || CD.
Две (ненаправленные) прямые а и b параллельными, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.
Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны. Легко видеть, что через каждую точку М, не лежащую на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая из которых расходится с прямой а. В самом деле, пусть прямые CDи EFпараллельны прямой а в разных направлениях (см. рис. 2-7). Тогда любая прямая, проходящая через точку М внутри вертикальных углов CMFи EMD, расходится с прямой а.
Таким образом, на плоскости Лобачевского в отличие от плоскости Евклида имеются три случая взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.
Теорема 3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.
доказательство
Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.
Заметим, что две прямые не могут иметь более чем один общий перпендикуляр. Действительно, если, например, прямые а и bимеют два общих перпендикуляра АВ и А'В' (рис. 2-16), то выпуклый четырехугольник ABB'А' имеет четыре прямых угла. Но этопротиворечит теореме 2 § 2 Гл. 2. Таким образом, если две прямые имеют общий перпендикуляр, то он единственный и по теореме 3 эти прямые расходятся. В заключение докажем, что на плоскости Лобачевского расстояние от переменной точки одной из двух параллельных или расходящихся прямых до другой прямой есть переменная величина. Для этого предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 2. Пусть лучи РР' и QQ' лежат в одной полуплоскости с границей PQ, ÐPQQ' прямой, aÐQPP' прямой или тупой (рис. 2-18, а). Тогда если М — переменная точка луча РР', а Н — проекция этой точки на прямую QQ', то функция МН = f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.
доказательство
Пусть АВ и CD— расходящиеся прямые, aPQ — общий перпендикуляр этих прямых (рис. 2-19). Фигуры BPQDи APQCудовлетворяют условиям леммы2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CDнеограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р как в одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямые неограниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра.
Пусть теперь АВ || CD, aPQ— перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD(рис. 2-20). Так как 
QPBострый, то смежный с ним QPAтупой. Фигура APQCудовлетворяет условиям леммы2, поэтому согласно этой лемме расстояние от перемен- ной точки М прямой АВ до прямой CDнеограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлениюпараллельности. Можно доказать, что если точка М удаляется от точки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря, параллельные прямые, неограниченно удаляясь друг от друга в одном направлении, асимптотически приближаются в другом.
Окружность, эквидистанта и орицикл
На плоскости Лобачевского существуют три различных типа пучков, а именно: а) пучок пересекающихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку - центр пучка (рис. 2-21, а); б) пучок расходящихся прямых, т. е. множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к данной прямой (рис. 2-21, б); в) пучок параллельных прямых - множество прямых, состоящее из некоторой направленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей (рис. 2-21, в).
Ясно, что если задан пучок, то через любую точку плоскости (отличную от центра пучка пересекающихся прямых) проходит одна и только одна прямая пучка.
С каждым пучком прямых связаны определенные линии.
Окружность. Как известно из школьного курса геометрии, окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Это определение относится к абсолютной геометрии, поэтому окружность линия как евклидовой плоскости, так и плоскости Лобачевского. Многие теоремы об окружности, известные учащемуся из курса геометрии средней школы, доказываются без помощи аксиомы параллельных, поэтому они справедливы и на плоскости Лобачевского. Прежде всего, отметим теорему о том, что любая прямая, лежащая в плоскости окружности, пересекается с ней не более чем в двух точках. Перечислим другие свойства окружности, которые относятся к абсолютной геометрии. При этом рассмотрим только те свойства, которые относятся к расположению точек окружности по отношению к пучку пересекающихся прямых с центром в центре окружности. Прямые этого пучка называются осями окружности.
1. Окружность симметрична относительно любой своей оси.
2. В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.
Учитывая это свойство, мы можем говорить, что окружность пересекает свои оси под прямым углом или что окружность есть ортогональная траектория пучка прямых с центром в центре окружности (рис. 2-22, а).
Прямая АВ, где А 
а и В Ь, называется секущей равного наклона к прямым а и b, если отрезок АВ составляет с этими прямыми равные внутренние односторонние углы.
3. Прямая, содержащая хорду окружности, отличную от диаметра, является секущей равного наклона к осям, проходящим через концы хорды.
4. Серединный перпендикуляр к любой хорде окружности является ее осью.
Не все свойства окружности, известные нам из школьного курса геометрии, имеют место на плоскости Лобачевского. Например, теорема о том, что угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым углом, неверна на плоскости Лобачевского. В самом деле, пусть угол АСВ, вписанный в окружность с центром О, опирается на диаметр АВ (рис. 2-23). Проведем радиус ОС и рассмотрим два равнобедренных треугольника ОАС и ОВС. Так как A = АСО и B = BCO, то A + В = АСО + ВСО = АСВ. Следовательно, σABC = A + В + АВС = 2 АСВ. Значит, АСВ = 
σABC . Так как σABC < 2d, то АСВ < d, т. е. АСВ — острый угол.