Графики и их функции (стр. 5 из 6)
4.3.2 Деформация графика вдоль оси абсцисс
f(x) => f(ωx).
Пусть требуется построить график функции y = f(ωx), где ω>0. Рассмотрим функцию y = f(x), которая в произвольной точке x = x1 принимает значение y1 = f(x1). Очевидно, что функция y = f(ωx) принимает такое же значение в точке x = x2, координата которой определяется равенством x1 = ωx2, причем это равенство справедливо для совокупности всех значений х из области определения функции. Следовательно, график функции y = f(ωx) оказывается сжатым (при ω<1) или растянутым (при ω>1) вдоль оси абсцисс относительно графика функции y = f(x). Таким образом, получаем правило.
Для построения графика функции y = f(ωx) следует построить график функции y = f(x) и уменьшить его абсциссы в ω раз при ω>1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 1/ω раз при ω<1 (произвести растяжение графика вдоль оси абсцисс). Полученный график является графиком функции y = f(ωx).
4.4 Алгебраические операции над графиками функций
Рассмотрим основные алгебраические действия над функциями и их графиками, такие как сложение и вычитание (y = f(x) ±g(x)), умножение (y = f(x) ·g(x)), деление (y = f(x) / g(x)). При построении такого типа графиков следует учитывать, что область определения функции y является общей частью областей определения каждой из функций f(x) и g(x). Использование изложенных ниже методов построения графиков особенно целесообразно в случае, когда f(x) и g(x) являются элементарными функциями разных типов.
4.4.1 График суммы (разности) функций
y = f(x) ±g(x)
График следует строить по точкам, складывая или вычитая ординаты графиков функций f(x) и g(x), соответствующие одному и тому же значению аргумента (разумеется, сначала строятся графики функций f(x) и g(x)).
При построении графика разности функций обычно не прибегают к вычитанию графиков, а строят сначала график функции - g(x) и затем складывают графики f(x) и - g(x).
4.4.2 График произведения функций
y = f(x) ·g(x).
Для построения графика данной функции надо построить графики функций f(x) и g(x) и перемножить значения ординат, соответствующие одним и тем же значениям аргумента.
4.4.3 График функции вида
Для построения такого графика следует построить график функции y1 = f(x) и, деля, единицу на численные значения ординат этой функции с учетом знака, по точкам построить график данной функции.
При этом областью определения функции у является область определения функции y1 = f(x), за исключением тех значений х, при которых f(x) =0. В этих точках функция y =1/f(x) не определена (как правило, здесь имеются вертикальные асимптоты). При f(x) → ± ∞ у→0, при f(x) = ±1 у=±1 (т.е. значения заданной функции у и функции y1 = f(x) совпадают)
4.4.4 График частного двух функций
y = f(x) / g(x).
Данную функцию можно представить в виде
Построение графика функции сводится к построению графиков функций y1 = f(x) и y2 = 1/g(x) и последующему перемножению по точкам значений соответствующих ординат этих графиков с учетом знака.
4.5 Построение графиков сложных функций
Прежде, чем приступить к построению графика сложной функции j [f(x)], необходимо сначала построить график функции f(x), а затем по точкам строить график сложной функции, проводя операцию взятия функции от функции. Рассмотрим ряд важнейших частных случаев.
4.5.1 График функции у = [f(x)] k
Для построения графика функции у = [f(x)] k следует построить график y1 = f(x) и, возведя значения ординат построенного графика в степень k, по точкам построить график заданной функции.
Отметим, что в общем случае число k может быть как целым, так и дробным. Если возведение в степень k сводится к операции извлечения корня четной степени (например,
или 
, то функция y определена только там, где f(x) ≥0 (соответственно график нужно строить только в этой области).4.5.2 График функции у = af(x)
Для построения графика функции у = af(x) следует построить график y1 = f(x), а затем, возведя основание в степень, равную значению ординат графика, по точкам построить график заданной функции.
При этом в точках, где f(x) =0, у=1, в точках, где f(x) =1, у=а. Для случая а>1 при f(x) → ∞ y → ∞, а при f(x) → - ∞ y → 0; для случая а<1 при f(x) → ∞ y → 0, а при f(x) → - ∞ y → ∞. На практике при построении графиков случай а<1 удобно сводить к случаю а>1 (например,
)В этой главе были рассмотрены наиболее известные и повсеместно используемые в математике методы построения графиков сложных функций. Так же эта глава насыщенна наиболее интересными и полезными потенциальными знаниями для ученика.
Глава V: Графики нетрадиционных функций
1. График функции
Нам дана функция:
Найдем область допустимых значений для этой функции:
В знаменателе мы видим формулу разности квадратов, раскроем ее и представим в виде:
После сокращения мы получили следующий результат:
Раскроем модуль и получим:
 |
2. График функции
Нам дана функция:
Найдем область допустимых значений для этой функции:
В числителе видим формулу разности квадратов, раскроем ее и представим в виде:
После сокращения мы получили следующий результат:
Соберем слагаемые, содержащие переменную “у” слева, а слагаемые, содержащие переменную “x” и свободные члены справа, получим:
Раскроем модуль и получим:
3. График функции
График задан функцией:
Построим график, раскрывая модуль.
, от сюда следует, что 
,Приведя подобные, получим:
, то от сюда вытекает следующее: 
После приведения подобных и применения соответствующих действий над ними, мы получим ниже приведенное:
.  |
4. График функции
График задан функцией:
Найдем область допустимых значений для этой функции.
В знаменателе функции заметна формула разности квадратов, раскроем ее следующим образом:
После нетрудных сокращений получаем:
Раскроем модуль, содержащийся в знаменателе дроби функции, ниже приведенным образом:
 |
Заключение
В первой главе была рассмотрена история возникновения функций и их графиков. На протяжении всей этой главы можно проследить историю развития понятия функции и применение ее в различных областях жизнедеятельности человека со времен глубокой древности до наших дней.