Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 10 из 12)
В 1917 г. Кантелли распространил результат Бореля на любое
.В 1913 г. Хаусдорф для случая Бернулли нашёл следующую оценку: с вероятностью единица
, где 
произвольно.В 1914 г. Харди и Литтльвуд показали, что с вероятностью единица
.А в 1923 г. Хинчин доказал следующую теорему.
Теорема.
Если вероятность появления события A в каждом из
независимых испытаний равна , то число 
появлений события A в испытаниях при 
удовлетворяет соотношению: 
.Функция
в этом смысле является точной верхней границей случайной величины 
.Представим этот результат геометрически. Будем по оси абсцисс откладывать
, а по оси ординат – 
. Проведём в этой системе прямые: 
и 
. Теорема Бореля-Кантелли утверждает, что при достаточно больших почти достоверно, что 
будет заключаться между прямыми и . Но эти границы оказались очень широки и Хинчин указал более строгие границы изменения . Если мы проведём кривые
и (3.5.1) 
, (3.5.1')то по теореме Хинчина, каково бы ни было
, для достаточно больших разность почти достоверно заключена между этими кривыми. Если же взять кривые 
и (3.5.2) 
, (3.5.2')то
почти достоверно бесконечно много раз выйдет за пределы этих кривых. Изобразим схематически эту ситуацию. 
Хотя Марков и расширил границы применимости закона больших чисел, однако, окончательно этот вопрос ещё не был решён. Установить необходимые и достаточные условия применимости закона больших чисел удалось только благодаря применению методов и понятий теории функций.
В 1926 г. А.Н. Колмогоров установил эти условия в своей работе [5].
Определение.
Случайные величины
последовательности 
называются устойчивыми, если существует такая числовая последовательность 
, что для любого положительного 
, 
.Если существуют все
и если можно положить 
, то говорят, что устойчивость нормальная.Если все
равномерно ограничены, то из , , следует соотношение 
, , и, следовательно, 
, .Таким образом, устойчивость ограниченной последовательности необходимо нормальна. Пусть
.По неравенству Чебышева
.Следовательно, условие Маркова:
, , достаточно для нормальной устойчивости.Если
равномерно ограничены, 
, то по неравенству 
, 
.Следовательно, в этом случае условие Маркова является также и необходимым для нормальной устойчивости
.Если
и величины 
попарно некоррелированы, то 
.Следовательно, в этом случае для нормальной устойчивости средних арифметических
, т.е. для того, чтобы для всякого 
,Достаточно выполнения следующего условия:
(теорема Чебышева). В частности, это условие выполнено, если все величины равномерно ограничены.1. Можно обобщить эту теорему на случай слабо коррелированных величин
. Если предположить, что коэффициент корреляции 
(ясно, что всегда 
) между 
и удовлетворяет неравенству 
и что 
, то для нормальной устойчивости средних арифметических, т.е. для того, чтобы для всякого 
,достаточно выполнения условия
, где 
.2. В случае независимых слагаемых
можно дать также необходимое и достаточное условие для устойчивости средних арифметических .Для каждого
существует константа 
(медиана ), удовлетворяющая следующим условиям: 
, 
.