Динамика развития некоторых понятий и теорем теории вероятностей (стр. 7 из 12)

Что и требовалось доказать.

Для сравнения дадим современную формулировку теоремы Бернулли.

Теорема Бернулли.

Если вероятность наступления события Aв последовательности независимых испытаний постоянна и равна p, то, каково бы ни было положительное число

, с вероятностью как угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе испытаний n разность по абсолютной величине окажется меньшей, чем :

,

где

–любое малое число.

Эта теорема будет доказана нами позже (после введения неравенства Чебышева).

Всегда может случиться, что, каким бы большим ни было n, в данной серии из n испытаний

окажется больше . Но, согласно теореме Бернулли мы можем утверждать, что если n достаточно велико и если произведено достаточно много серий испытаний по n испытаний в каждой серии, то в подавляющем числе серий неравенство будет выполнено.

Бернулли считает, что из доказанной теоремы «вытекает то удивительное, по-видимому, следствие, что если бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность (причём вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность), то было бы замечено, что всё в мире управляется точными отношениями и постоянным законом изменения, так, что даже в вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены были бы признать как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок».

А.А. Марков писал, что в этой работе Бернулли «впервые была опубликована и доказана знаменитая …теорема, положившая начало закону больших чисел…». Пуассон (1781–1840 гг.) в своей работе «Исследования о вероятности судебных приговоров по уголовным и гражданским делам» занимался предельными предложениями. В результате он доказал свою знаменитую теорему, которой дал название «закон больших чисел» [1]. Теорема Пуассона формулировалась следующим образом.

Теорема.

Если производится n независимых испытаний, результатами которых является наступление или не наступление события A, причём вероятность наступления события в отдельных испытаниях неодинакова, то с вероятностью, сколь угодно близкой к единице (или, другими словами, – к достоверности), можно утверждать, что частота

наступления события A будет сколь угодно мало отличаться от средней арифметической вероятностей наступления события в отдельных испытаниях.

Теперь эту теорему записывают так:

Если же вероятность наступления события не будет изменяться от испытания к испытанию, то

=p, и теорема Пуассона в этом случае переходит в теорему Я. Бернулли, которая, таким образом, является частным случаем теоремы Пуассона.

3.3 Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева

17.12.1866 г. Чебышев доложил Академии наук свою работу «О средних величинах», которая была опубликована в 1867 г. В «Математическом сборнике». В этой работе Чебышев доказал одно важное неравенство, которое теперь называется неравенством Чебышева. При помощи этого неравенства Чебышев получил теорему, из которой как следствия получаются теоремы Бернулли и Пуассона. В начале работы «О средних величинах» Чебышев доказывает теорему [1,6].

Теорема.

Если математическое ожидание величин x, y, z,… суть a, b, c,…,

а математическое ожидание квадратов

, , ,… суть , , ,…, то вероятность, что сумма x+y+z+… заключается в пределах

,

,

при всяком значении

остаётся больше .

Далее Чебышев переходит к следующей теореме.

Если мы изобразим через N число величин x, y, z,…, u, полагая в доказанной сейчас теореме

, разделим на N как сумму x+y+z+…, так и пределы её

,

,

то из этой теоремы получим следующую относительно средних величин.

Теорема.

Если математическое ожидание величин

x, y, z,…,

, , ,… суть a, b, c,…, , , ,…, то вероятность, что среднее арифметическое N величин x, y, z,…, от среднего арифметического математических ожиданий этих величин разнится не более как на при всяком значении, будет превосходить .

Это и есть знаменитое неравенство Чебышева, которое в современной форме записывается следующим образом:

,

где случайная величина x имеет конечную дисперсию

, а –любая отличная от нуля положительная величина.

Действительно, первую теорему Чебышева можно записать так:

Применим эту теорему к случайной величине x:

.

Но

,

,

,

.

Пусть

, тогда и получаем привычную формулу для неравенства Чебышева .

Сформулируем соответствующую теорему и докажем в ней это неравенство.

Теорема.

Пусть имеется случайная величина

с математическим ожиданием и дисперсией . Неравенство Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху величиной :

.

Доказательство.

1. Пусть величина

дискретная, с рядом распределения

Изобразим возможные значения величины

и её математическое ожидание в виде точек на числовой оси Ox.