Жизнь и деятельность семьи Бернулли (стр. 3 из 4)
Для сжимаемого идеального газа
(постоянна вдоль линии тока или линии вихря)
где
– адиабатическая постоянная газаp – давление газа в точке
ρ – плотность газа в точке
v – скорость течения газа
g – ускорение свободного падения
h – высота относительно начала координат
При движении в неоднородном поле gz заменяется на потенциал гравитационного поля.
Термодинамика закона Бернулли
Выведем закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений.
1. Запишем Уравнение Эйлера:
φ – потенциал. Для силы тяжести φ=gz
2. Запишем выражение для энтальпии и предположим, что энтропия системы постоянна (или, можно сказать, что течение адиабатично):
dW = VdP + TdS
Пусть S = const и w – энтальпия единицы массы, тогда:
или 
3. Воспользуемся следующими соотношениями из векторной алгебры:
– проекция градиента на некоторое направление равно производной по этому направлению.4. Уравнение Эйлера с использованием соотношений выведенных выше:
Спроецируем это уравнение на единичный вектор касательный к линии тока, учитывая следующее:
– условие стационарности 
– так как 
Получаем:
То есть на линиях тока в стационарной адиабатической жидкости выполняется следующее соотношение:
Лемниската Бернулли
Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.
Уравнения
Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:
· в прямоугольных координатах:
· в полярных координатах
·
Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:
,Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.
Свойства.
1. Лемниската – кривая четвёртого порядка.
2. Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F1F2, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае – ось OY.
3. Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
4. Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:
5.
6. Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра (оси OY в данном случае) равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
7. Касательные в двойной точке составляют с отрезком F1F2 углы
.8. Лемнискату описывает окружность радиуса
, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.9. Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
10. Для представления в полярных координатах, верно следующее
a. Площадь полярного сектора
, при 
: 
b.В частности, площадь каждой петли
.c. Радиус кривизны лемнискаты есть
Построение лемнискаты
· с помощью трёх отрезков
Это один из наиболее простых и быстрых способов, однако требует наличия дополнительных приспособлений.
На плоскости выбираются две точки – A и B – будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба – C и D). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: AC=BD= 
, CD=AB. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.
· при помощи секущих (способ Маклорена)
Строится окружность радиуса
с центром в одном из фокусов. Из середины O фокусного отрезка строится произвольная секущая OPS (P и S – точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки OM1 и OM2, равные хорде PS. Точки M1, M2 лежат на разных петлях лемнискаты. Неравенство Бернулли
Неравенство Бернулли (названо в честь Иоганна) утверждает: если 
, то
Доказательство проводится методом математической индукции по n. При n = 0 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:
, ч.т.д.Примечания:
· Неравенство справедливо также для вещественных
(при )· Неравенство также справедливо для
(при 
), но указанное выше доказательство по индукции в случае 
не работает.Распределение Бернулли
Распределение Бернулли (названо в честь Якоба) моделирует случайный эксперимент произвольной природы, когда заранее известна вероятность успеха или неудачи.
Случайная величина X имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: 1 и 0 с вероятностями p и
соответственно. Таким образом:P (X= 1) = p
P (X= 0) = q
Принято говорить, что событие {X = 1} соответствует «успеху», а {X = 0} «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.
E[X] = p,
D[X] = pq.
Вообще, легко видеть, что
E[ 
] = p 
.
Числа и многочлены Бернулли
Числа Бернулли – последовательность рациональных чисел B0, B1, B2,… найденная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:
Для чисел Бернулли существует следующая реккурентная формула:
Первые четырнадцать чисел Бернулли равны:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
 | 1 |  |  | 0 |  | 0 |  | 0 | | 0 |  | 0 |  | 0 |  |
Свойства
· Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B1, равны нулю, знаки B2n чередуются.