Измеримые множества (стр. 3 из 6)

(для чего достаточно взять такое h_k, что

0 < h_k < min[

, ]

и положить a_k = l_k+h_k, b_k=m_k - h_k). Положим, наконец,

F₀=

_k, b_k].

Тогда, очевидно, F₀ÌG, F₀ замкнуто и

mF₀=

(b_k-a_k) > (m_k-l_k) - > mG - e.

Так как e произвольно мало, то теорема доказана.

Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.

С этой целью возьмем интервал D, содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество C_DF. Каково бы ни было e>0, мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф Ì С_DF, mФ>m[C_DF]- e.

Положим G₀ = С_DФ. Легко видеть, что G₀ есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем

mG₀ = mD-mФ <mD-m[C_DF] + e = mF + e

Теорема доказана.

Теорема 6. Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств

F =

(F_kF_k’ = 0, k ¹k’).

Тогда

mF =

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F₁+F₂ (F₁F₂=0).

Возьмем произвольное e > 0 и подберем два ограниченных открытых множества G₁ и G₂ так, чтобы оказалось

G_iÉ F_i

(i = 1, 2),

что возможно в силу предыдущей теоремы.

Положим G = G₁ + G₂.

Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит,

mF£mG£mG₁ + mG₂ < mF₁ + mF₂ + e.

В силу произвольности e, отсюда следует что

mF £ mF₁ + mF₂ (*)

С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B₁ и B₂, что

B_iÉ F_i (i = 1, 2), B₁B₂ = 0.

Отметив это возьмем произвольное e > 0 и найдем такое открытое ограниченное множество G, что GÉF, mG < mF + e.

Тогда множества B₁G и B₂G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F₁ и F₂.

Значит,

MF₁ + mF₂£m(B₁G) + m(B₂G) = m [B₁G + B₂G]

(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B₁G + B₂GÌ G, откуда

mF₁+mF₂ £ mG< mF+e

и в силу произвольности e,

mF₁ + mF₂ £ mF. (^*_*)

Сопоставляя (^*) и (^*_*), получим

mF = mF₁ + mF₂,

что и требовалось доказать.

Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества

Определение 1. Внешней мерой m^*E ограниченного множества E называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество E:

Очевидно, для всякого ограниченного множества E cуществует внешняя мера, причем 0 £ m*E < +¥.

Определение 2. Внутренней мерой m*E ограниченного множества Eназывается точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E:

m*E=

.

Очевидно, что всякое ограниченное множество E имеет внутреннюю меру, причем 0 £m_*E< +¥.

Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то

m*G = m_*G = mG.

Теорема вытекает из следствия теоремы 1 и теоремы 4.

Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то

m*F = m_*F = mF.

Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5.

Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е

m_*E £m*E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Gограниченное открытое множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмножество Fмножества Е ни взять, будет FÌ Gи, в силу теоремы 3, mF£ mG. Отсюда m_*E£ mG. Но так как это верно для всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то m_*E£ m*E,что и требовалось доказать.

Теорема 4. Пусть A и B суть ограниченные множества. Если AÌ В, то

m_*A £ m_*В, m^*A £ m^*B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба неравенства доказываются аналогично. Остановимся для примера на первом из них.

Пусть S есть множество, состоящее из мер всевозможных замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для множества В. Тогда m_*A = supS, m_*B = supT.

Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что SÌ T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества.

Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Е_k

E=

, то m*E£ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда

. Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное e > 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества G_k, что

G_kÉE_k, mG_k<m*E_k+

(R=1, 2, 3, …).

Назовем через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда ЕÌD

, откуда, в силу теоремы 3.

m*E £ m

= m £ ,

и теорема вытекает из произвольности числа e.

Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Е_k

Е=

(E_kE_k’=0, k¹k’),

то

m*E³

_*E_k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е₁, Е₂,... …, Е_n. Для любого e > 0 существуют такие замкнутые множества F_k, что

F_kÌE_k, mF_k>m_*E_k-

(k=1, 2, …, n).

Множества F_kпопарно не пересекаются и сумма их

замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим

m_*E³m

= mF_k> m_*E_k- e.

Так как e >0 произвольно, то

m_*E_k£ m_*E.

Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда

m_*E_k и неравенство m_*E_k£ m_*E.

Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если отбросить условие отсутствия общих точек у множеств E_k. Например, если Е₁=[0, 1], Е₂=[0, 1] Е=Е₁+Е₂, то m_*E=1, m_*E₁+m_*E₂=2.

Теорема 7. Пусть Е ограниченное множество. Если D интервал, содержаций это множество, то

m*E+m_*[C_DE]=mD.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное e>0 и найдем такое замкнутое множество F, что FÌC_DЕ, mF>m_*[C_DE]- e.