Измеримые множества (стр. 5 из 6)
где отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Отсюда, в силу теорем 4 и 8, следует, что
На основании самого определения суммы бесконечного ряда, последнее равенство можно переписать так
{ 
а это равносильно теореме, ибо
mE1+ 
=mEn
Теорема 12. Пусть E1, E2,E3,… суть измеримые множества, и Е= 
. Если Е1ÉE2ÉE3É…, то
mE=lim 
.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Эту теорему легко свести к предыдущей. Действительно, обозначив через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е1, мы будем иметь
СDE1ÌCDE2ÌCDE3Ì ..., CDE=
.В силу теоремы 11 мы получаем, что
m(СDE)=
что можно представить и так:
mD - mE=
а это равносильно теореме.
Измеримость и мера как инварианты движения
Пусть даны два множества А и В, состоящие из объектов любой природы. Если указано правило, которое каждому элементу а множества А ставит в соответствие один и только один элемент b множества В, то говорят, что установлено однозначное отображение множества А в множество В. При этом не предполагается, что каждый элемент множества В оказывается соотнесенным какому-нибудь элементу из А. Понятие отображения есть прямое обобщение понятия функции. В связи с этим элемент bÎ В, отвечающий элементу а Î A, часто обозначают через f(а) и пишут b=f(а).
Если b=f(а), то мы будем называть элемент bобразом элемента а, а элемент а прообразом элемента b. При этом один элемент b может иметь несколько прообразов.
Пусть А* есть часть множества А, а В* есть множество образов всех элементов А* (иначе говоря, если аÎА*, то f(а) ÎВ*, и если bÎВ*, то существует хоть один элемент аÎА* такой, что f(а) = b). В таком случае множество В* называется образом множества А*, что записывают так: В*= f(А*).
При этом множество А* называется прообразом множества В*.
Установив эти общие понятия, перейдем к рассмотрению одного важного специального вида отображений.
Определение 1. Однозначное отображение j(х) числовой прямой Z в себя называется движением, если расстояние между образами любых двух точек прямой равно расстоянию между самими этими точками:
½j(х) - j(y)½= ½ х – y½.
Иначе говоря, движением называется такое отображение множества Z в множество Z, которое не изменяет расстояний между точками Z.
В определение понятия движения не включено требование, чтобы каждая точка Z cлужила образом какой-нибудь точки, а также требование, чтобы разные точки Z имели разные же образы. Однако оба эти обстоятельства имеют место. Убедимся в этом пока для одного из них.
Теорема 1.Пусть j ( х) есть движение. Если х ¹ y, то j ( х) ¹ j (y).
Действительно, в этом случае ½j (х) - j (y) ½ = ½х - y½¹ 0.
Теорема 2.a) Если А Ì В, то j (А) Ì j ( В).
b) 
c) 
d) Если L пустое множество, то j(L) = L
Доказательство предоставляется читателю; укажем лишь на то, что при доказательстве с) используется теорема 1.
Легко проверить, что следующие три отображения являются движениями:
I. j (х) = х + d (сдвиг),
II. j (х) = - х (зеркальное отражение),
III. j (х) = - х + d.
Чрезвычайно важным является то, что этими тремя (собственно – двумя, ибо III охватывает II) типами исчерпываются все возможные движения в Z.
Теорема 3.Если j (х) есть движение, то либо
j (х) = х + d,
либо
j (х) = - х + d.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим, j (0) = d. Тогда для всякого х будет | j (х) – d| = | х | и, стало быть,
j ( х ) = (-1) s( х ) х + d[s(х) = 0, 1].
Функция s (х) определена для всякого х ¹ 0. Нашей задачей является установление того, что s (х) есть постоянная величина.
Пусть x и y две точки, причем x¹ 0, y¹ 0, x¹y. Тогда
j (x) - j (y) = (-1)s (x) x – (-1)s (y) y,
или
j (x) - j (y) = (-1) s (x) [x – (-1)ry],
где r = s (y) - s (x) имеет одно из трех значений r = 1, 0, -1.
Пользуясь определением движения, можно утверждать, что
| x – (-1)ry| = |x - y|.
Отсюда, либо x – (-1)ry = x – y, либо же x – (-1)ry = -x + y.
Но второй случай невозможен, ибо он приводит к тому, что
2x = y [1 + (-1)r], откуда (при r = ± 1) x = 0, или (при r = 0) x = y, а это противоречит условию.
Значит, остается первый случай, который дает, что r = 0, т.е. s(x) = s(y).
Значит, для всех x¹ 0 функция s (x) имеет одно и то же значение
s (x) = s (s = 0, 1), так что j (x) = (-1)sx + d.
Поскольку это равенство, очевидно, остается в силе и для x = 0, теорема доказана.
Следствие. При движении каждая точка yÎZ служит образом некоторой точки xÎZ, т.е. j (Z) = Z.
Действительно, если j (x) = (-1)sx + d, то прообразом точки y служит точка x = (-1)s (y-d).
Если j (x) = (-1) sx + d есть некоторое движение, то движение
j-1 (x) = (-1) s (x – d)
называется обратным движением. Эти два движения связаны соотношениями
j [j-1 (x)] = j-1[j (x)] = x.
Иначе говоря, если точка х в движении j имеет образом точку y, то в движении j-1 точка y имеет образом точку х. Весьма важным является то, что для всякого движения существует обратное ему движение.
Теорема 4. При движении: а) всякий интервал переходит в интервал той же меры, причем концами интервала-образа служат образы концов интервала-прообраза;
b) образ ограниченного множества есть ограниченное же множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D = (a, b) есть некоторый интервал. Тогда при движении j (x) = x + d образом интервала D служит интервал (а+ d, b + d), а при движении j (x) = -x + d – интервал (d – b, d – a). В обоих случаях mj (D) = b – a = mD.
Чтобы доказать b), обозначим через Е какое-нибудь ограниченное множество. Если D есть интервал, содержащий множество Е, то
j (Е) Ì j (D), так что j (Е) ограничено. Можно рассуждать и так: если для всех х из Е будет | х | < k, то для всех у из j(E) будет | у|<k+|d|.
Теорема 5.При движении: а) замкнутое множество переходит в замкнутое множество;
b) открытое множество переходит в открытое множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. a) пусть j (F) есть образ замкнутого множества F. Обозначим через у0 какую-либо предельную точку множества j (F) и найдем последовательность {уn}, для которой
lim уn = у0 , уnÎ j(F).
Пусть х0=j-1(у0), хn=у –1(уn).
Тогда хnÎF. Но | хn– х0 | = | уn– у0|, так что хn® х0и, в силу замкнутости F, х0 Î F, откуда у0 = j(х0) Î j(F).
Значит j(F) есть открытое множество.
b) Пусть G есть открытое множество. Положим F=CG. Тогда F есть замкнутое множество и G+F=Z, G ·F=0.
Отсюда, в силу теоремы 2 и следствия теоремы 3,
j(G) + j(F) = Z, j(G) j ·(F) = 0,
т.е. j(G) является дополнением замкнутого множества j(F) и, стало быть, открыто.
Теорема 6.Мера открытого ограниченного множества не меняется при движении.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G открытое ограниченное множество. Тогда и j(G) есть открытое ограниченное множество. Обозначим через dk(k = 1, 2, 3…) составляющие интервалы множества G. На основании теоремы 4, составляющими интервалами множества j(G) служат интервалы j(dk), причем легко проверить, что этими интервалами исчерпываются все составляющие интервалы множества j(G). Отсюда: mj(G)=
j(dk)= 
dk= mG, что и требовалось доказать.Теорема 7. Движение не изменяет ни внешней, ни внутренней меры ограниченного множества.
Д о к а з а т е л ь с т в о.а) Пусть E ограниченное множество. Взяв произвольное e>0, найдем такое открытое ограниченное множество G, чтобы было GÉE, mG< m* E + e.
В таком случае j(G) есть открытое ограниченное множество, содержащее множество j(E). Стало быть
m*j(E) £mj(G)=mG< m*E+e.
В силу произвольности числа e, следует, что m*j(E) £m* E, так что при движении внешняя мера ограниченного множества не увеличивается. Но тогда она и не уменьшается, ибо иначе обратное движение привело бы к увеличению внешней меры.
Итак
m*j(E)=m*E.
b) Обозначим через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда j (D) есть интервал, содержащий множество j (Е). Положим, далее, А=СD E.