Измеримые функции (стр. 4 из 5)

Так как R₁ÉR₂ÉR₃É..., то (теорема 12)

mR_i®mQ

C другой стороны, очевидно, что

так что mR_i®0 и, стало быть, mQ=0.

Остается проверить, что соотношение (**) имеет место для всех x из множества E - Q.

Пусть x₀ÎE - Q. Тогда x₀

R_io. Иначе говоря, при k³i₀

x₀

E(|f_nk-f|³s_k),

и, следовательно,

|f_nk(x₀) – f(x₀₎|<s_k, (k³i₀)

и, поскольку s_k®0, ясно, что f_nk(x₀) ®f(x₀).

Теорема доказана.

Теорема Лебега дала повод к установлению понятия сходимости по мере. С другой стороны, с помощью этой же теоремы можно установить весьма важную теорему Д.Ф.Егорова.

Теорема 5 (Д.Ф.Егоров).Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность измеримых и почти везде конечных функцийf₁(x)^,f₂(x)^,f₃(x), …, почти везде сходящаяся к измеримой и почти везде конечной функции f (x):

В таком случае, для любого d>0 существует такое измеримое множество Е_d

Е, что:

1) mE_s >mE- d;

2) на множестве E_dстремление(*) происходит равномерно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. При доказательстве теоремы Лебега было установлено, что при любом s >0 будет

(1)

где

.

Заметив это, возьмем сходящийся положительный ряд

h₁+h₂+h₃+... (h_i>0)

и стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел

s₁>s₂>s₃>…, lim s_i=0.

В силу (1), можно каждому натуральному i соотнести такое натуральное n_i, что mR_ni(s_i)< h_i.

Сделав это, найдем такое i₀, что

(где d число, фигурирующее в формулировке теоремы), и положим .

Очевидно,

me<d.

Пусть Е_d = Е – е. Установим, что множество Е_dтребуемое. Неравенство mE_d> mE - d ясно, так что остается убедиться в равномерности стремления

f_n(x)®f(x)

на множестве Е_d.

Пусть e > 0. Найдем i такое, что i³i₀, s_i < e, и покажем, что при k³ n_i и при всех xÎ Е_dбудет

|f_k(x) – f(x)| < e,

откуда и будет следовать теорема.

Если xÎ Е_d, то х

e. Значит в частности, x R_ni(s_i).

Иначе говоря, при k³ n_i

xÎE(|f_k – f|³ s_i),

так что

|f_k(x) – f(x)| <s_i (k³ n_i)

и тем более

|f_k(x) – f(x)| < e (k³ n_i).

Теорема доказана, ибо n_i зависит только от e, но не от x.

Структура измеримых функций

При изучении какой-нибудь функции сам собою встает вопрос о точном или приближенном представлении ее с помощью функций более простой природы.

Таковы, например, алгебраические вопросы о разложении многочлена на множители или рациональные дроби на простейшие. Таков же вопрос о разложении непрерывной функции в степенной или тригонометрический ряд и т.п.

В этой части мы устанавливаем различные теоремы о приближении измеримых функций функциями непрерывными, т.е. решаем сходный вопрос для измеримых функций. Эти теоремы позволяют нам найти основное структурное свойство измеримой функции выражаемой теоремой 4.

Теорема 1. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f(x). Каково бы ни было e > 0, существует измеримая ограниченная функция g(x), такая, что mE(f¹g)< e.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим

А_k = E(|f|>k), Q = E(|f| = + ¥).

По условию, mQ = 0. Ввиду очевидных соотношений

А₁É А₂É А₃É …,

будет (теорема 12) при k®¥

mA_k®mQ = 0.

Значит, найдется такое k_0, что mA_k0<e.

Определим на множестве E функцию g(x), полагая

Эта функция измерима и, кроме того, ограничена, поскольку g (x)êk₀. Наконец, E(f¹g) = A_ko, что и доказывает теорему.

Доказанная теорема означает, что всякая измеримая и почти везде конечная функция становится ограниченной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть функция F(x) задана на множестве E и x₀ÎE, причем F(x₀) ¹±¥. Говорят, что функция F(x) непрерывна в точке х₀ в двух случаях: 1) если х₀ есть изолированная точка E; 2) если х₀Î E¢ и соотношения x_n®x₀, x_nÎE влекут соотношение

f(x_n) ®f(x₀).

Если f(x) непрерывна в каждой точке множества E, то говорят, что она непрерывна на этом множестве.

Лемма 1.Пусть множества F₁, F₂, …, F_n замкнутыи попарно не пересекаются. Если функция j (х),заданная на множестве

постоянна на каждом из множеств F_k, то она непрерывна на множестве F.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x₀ÎF’ и x_i®x₀, x_iÎF.

В силу замкнутости множества F точка x₀ принадлежит этому множеству и, стало быть, найдется такое m, что x₀ÎF_m.

Но множества F_k попарно не пересекаются. Значит, если k¹m, то х₀

F_k и, в силу замкнутости множества F_k, точка x₀ не является и предельной точкой этого множества.

Отсюда следует, что в последовательности {x_i} может быть только конечное число точек, принадлежащих множеству F_k при k¹m. Отметим все члены последовательности, которые входят в одно из множеств F₁, …, F_m-1, F_m+1, …, F_n, и пусть x_i0, последний из них. Тогда при i > i₀ необходимо будет x₁ÎF_m, т.е. при i > i₀ оказывается j (x_i) = j (x₀), а это доказывает лемму.

Лемма 2. Пусть F есть замкнутое множество, содержащееся в сегменте [a, b]. Если функция j(x) задана и непрерывна на множестве F, то можно определить на [a, b] функцию y(x) со следующими свойствами

1) y(x) непрерывна;

2) если xÎF, то y(x)= j(x);

3) max |y(x)| = max |j(x)|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через [a, b] наименьший сегмент, содержащий множество F. Если бы требуемая функция y(x) была уже построена на сегменте [a, b], то достаточно было бы дополнить ее определение, полагая

чтобы получить требуемую функцию уже на всем сегменте [a, b].

Поэтому, не ограничивая общности, можно считать что [a, b] и есть наименьший сегмент, содержащий множество F.

Если F = [a, b], то теорема тривиальна. Будем считать, что F¹ [a, b]. Тогда множество [a, b] – F состоит из конечного или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат F (дополнительных интервалов множества F).

Зададим функцию y(x), полагая ее равной j(x) в точках множества F и линейной на всех дополнительных интервалах.

Убедимся в непрерывности этой функции. Непрерывность ее в каждой точке множества [a, b] – F очевидна.

Пусть х₀ есть точка множества F . Мы покажем, что функция y(x) непрерывна в этой точке слева (непрерывность справа устанавливается совершенно аналогично).

Если точка х₀ служит правым концом какого-нибудь дополнительного интервала, то непрерывность функции y(x) в этой точке слева очевидна.

Пусть же x₀ не является правым концом никакого дополнительного интервала и пусть x₁< x₂< x₃<… последовательность точек, стремящихся к x₀.

Если x_nÎF (n = 1, 2, 3, …) то, используя непрерывность на множестве F функции j(x), имеем y(x_n) = j(x_n) ® j(x₀) =y(x₀). Поэтому можно считать, что х_n

F (n = 1, 2, 3, …).

В таком случае точка x₁ попадает в какой-то дополнительный интервал (l₁, m₁), причем m₁<х₀. Продолжая это рассуждение, мы приходим к последовательности (l₁, m₁), (l₂, m₂), (l₃, m₃), … дополнительных интервалов, расположенных в порядке номеров слева направо и таких, что