Измеримые функции (стр. 5 из 5)

X_kÎ(l₁, m₁) (k = n_i-1+1, …, n_i).

Соотношение x_ni<m_i<x₀ показывает, что m_i, а из того, что m_i-1£l_i< x₀, ясно, что и l_i ®x₀.

Но l_iи m_iвходят в F, так что

lim y(l_i) = limy(m_i) = y( x₀).

Ввиду того, что значения линейной функции в каком-нибудь интервале лежат между ее значениями на концах этого интервала, ясно, что и limy(x_n)=y(x₀).

Итак, непрерывность функции y(x) доказана.

Из самого ее построения видно, что она совпадает с j(x) на множестве F.

Наконец по известной теореме Вейерштрасса, среди значений непрерывной на сегменте функции |y(x)| есть наибольшее – max |y(x)|. Легко видеть, что этот максимум достигается именно в точке, принадлежащей множеству F, ибо на дополнительных интервалах функция y(x) линейна. Поэтому max |y(x)| = max |j(x)|.

Лемма доказана полностью.

Теорема 2 (Э. Борель). Пусть на сегменте [a, b] задана измеримая и почти везде конечная функция f(x). Каковы бы ни были числа s >0 и e >0 существует непрерывная на [a, b] функция y(x), для которой

mE(|f-y| ³s) <e

Если при этом |f(x)| £K, то можно и y(x) выбрать так, что |y(x)| £K.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что |f(x)| £K, т.е. что функция f(x) ограничена.

Фиксируя произвольные s >0 и e >0, найдем столь большое натуральное m, что K/m<s, и построим множества

(i = 1 – m, 2 – m, …, m – 1)

Эти множества измеримы, попарно не пересекаются и

Построим для каждого i замкнутое множество F_iÌE_i с мерой

и положим .

Ясно, что

, откуда m[a, b] – mF<e.

Зададим теперь на множестве F функцию j(x), полагая

при xÎF_i (i = 1 – m, …, m).

В силу леммы 1 эта функция непрерывна на множестве F, |j(x)| £K и, наконец, при xÎF будет |f(x) - j(x)| < s.

Остается применить лемму 2. Это приводит к непрерывной функции y(x), совпадающей на множестве F с функцией j(x),причем |j(x)|³K. Поскольку E ( | f - y | ³ s ) Ì [a , b] – F , ясно, что функция y(x) требуемая.

Итак, для ограниченной функции теорема доказана.

Допустим теперь, что f (x) не ограничена. Тогда, пользуясь теоремой 1, можно построить такую ограниченную функцию g(x), что mE (f¹g) < e/2.

Применяя уже доказанную часть теоремы к функции g(x), мы найдем такую непрерывную функцию y(x), что

Но легко видеть, что

E (|f-y| ³s) Ì E (f¹g) + E (|g-y| ³s),

Так что функция y(x) решает задачу.

Следствие. Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f(x), заданной на сегменте [a, b], существует последовательность непрерывных функций y_n(x), сходящаяся по мере к функции f(x).

В самом деле, взяв две стремящиеся к нулю последовательности

s₁>s₂>s₃>…, s_n®0,

e₁>e₂>e₃>…, e_n®0,

построим для каждого n такую непрерывную функцию y_n(x), что

mE(|f-y_n|³s_n)< e_n

Легко видеть, что y_n(x) Þf(x).

Действительно, какое бы s > 0 ни взять, для n³n₀ будет s_n<s, а для таких n

откуда и следует наше утверждение.

Применив к последовательности {y_n(x)} теорему Ф. Рисса мы приходим к последовательности непрерывных функций {y_nk(x)}, которая сходится к функции f(x) почти везде.

Иначе говоря установлена

Теорема 3 (М.Фреше). Для всякой измеримой и почти везде конечной функции f(x), заданной на сегменте [a, b], существует последовательность непрерывных функций, сходящаяся к f(x) почти везде.

С помощью этой теоремы легко устанавливается весьма замечательная и важная

Теорема 4 (Н. Н. Лузин). Пусть f(x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было d > 0, существует такая непрерывна функция j(x), что

mE(f¹j) < d

Если, в частности, |f(x)| £K, то и |j(x)| £K.