Клеточные пространства (стр. 3 из 8)

Лемма. Множество e (

) гомеоморфно R .

Доказательство. Расчленим диаграмму Юнга набора (

), как показано на рис.4в. Поставим в клетках вдоль косых линий единицы, в Заштрихованные клетки - произвольные числа и в остальные места - нули. Получится k n-матрица, строки которой составляют базис некоторого k-мерного подпространства пространства R . Легко понять, что это подпространство принадлежит e ( ) и что всякое подпространство, принадлежащее e ( ), обладает единственным базисом указанного вида. Получаем параметризацию клетки e ( ) наборами из чисел (числа в заштрихованных клетках).

Рис.4

На самом деле верно больше: множества e (

) составляют клеточное разбиение пространства G (n, k). Для доказательства нужно построить характеристические отображения, т.е. продолжить построенные гомеоморфизмы Int R e ( ) до непрерывных отображений G (n, k), отображающих сферу в объединение клеток меньших размерностей.

Замечательное свойство шубертовских клеток состоит в том, что при естественных вложениях G (n, k) в G (n+1, k) ив G (n+1, k+1) клетка e (

) гомеоморфно накладывается на клетку того же наименования. Следовательно, пространство G ( ,k) разбивается на клетки Шуберта, отвечающие диаграммам Юнга, содержащимся в горизонтальной полуполосе высоты k, а пространство G ( , ) разбивается на клетки, отвечающие всем без исключения диаграммам Юнга. Во всех случаях размерности клеток равны числам клеток диаграмм Юнга.

Комплексные и кватернионные аналоги шубертовских клеток очевидны; разумеется, размерности комплексных и кватернионных аналогов клеток Шуберта соответственно в 2 и 4 раза превосходят числа клеток соответствующих диаграмм Юнга.

2.4 Многообразия флагов

Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).

Шубертовские клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей

пересечений V R . Числа , однако, должны удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее, более рациональное описание клеток Шуберта.

Клетки пространства F (n;

) отвечают наборам целых чисел, принимающих значения 1,…, s + 1, причем ровно из этих чисел равны j (j=1,…, s+1; мы считаем, что k =0 и k =n). Клетка е [ ], отвечающая набору ( ), состоит из флагов V V , у которых

dim

{

(мы считаем, что V

=0 и V есть все пространство R ) или, иначе,

dim (V

R ) = card {р ≤ i│k_p ≤ j }.

Размерность клетки е [

] равна числу пар (i, j), для которых i<j, > .

В частности, многообразие F (n; 1,…,n-1) полных флагов разбито на n! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел 1,…, n, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.

Если многообразие флагов есть многообразие Грассмана G (n, k), то s = 1 и набор

состоит из k единиц и n-k двоек. Построим по этому набору n-звенную ломаную на плоскости, начинающуюся в точке (0, k) и кончающуюся в точке (n-k, 0). Все звенья ломаной имеют длину 1, причем i-e звено направлено вниз, если = 1, и вправо, если = 2. Эта ломаная ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга , и легко понять, что е [ ] = е ( ).

Заметим в заключение, что клетки е [

] (и их комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым образом: это - орбиты группы нижних треугольных n n-матриц с единицами на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно, клетка е [ ] есть орбита флага, i-е пространство которого порождено координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству < i.

2.5 Классические поверхности

Клеточные разбиения поверхностей S² и RP² нами уже построены. Клеточные разбиения остальных поверхностей без края автоматически получаются при склеивании этих поверхностей из многоугольников: двумерная клетка получается из