Клеточные пространства (стр. 4 из 8)

внутренности многоугольника, одномерные клетки - из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.

Рис.5

3. Гомотопические свойства клеточных пространств

3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий

Определение. Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого пространства Y и любого непрерывного отображения F: Х

Y всякая гомотопия f_t: А Y, такая, что f = F│ _А, может быть продолжена до гомотопий F_t: Х Y, у которой F₀ = F.

Теорема Борсука. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то (X, А) - пара Борсука.

Доказательство. Нам даны отображения Ф: А

I Y (гомотопия f_t) и F: X 0 Y, причем F │ = Ф│ . Продолжить гомотопию f_t до гомотопий F_t - это значит продолжить отображение F до отображения F’: X I Y, такого, что F’ │ = Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X, не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A X ) I:

F’ (x, t) ={

Допустим теперь, что отображение F' уже определено на (A

X ) I. Возьмем произвольную (n+ 1) - мерную клетку e Х - A. По предположению, F' задано на множестве ( ) I, так как граница = клетки

содержится в X по определению клеточного пространства. Пусть f: D X - характеристическое отображение, соответствующее клетке

. Нам надо продолжить F' на внутренность "цилиндра" f (D ) I с его "стенки" f (S ) I и "дна" f (D ) 0. Но из определения клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение F’ f: (S I) (D 0) Y до непрерывного отображения ': D I Y.

Пусть

: D I (S I) (D 0) - проектирование цилиндра D I из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D I (см. Рис.6); это отображение тождественно на (S I) (D 0). Отображение ' мы определяем как композицию

D

I (S I) (D 0) Y.

Эту процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) - мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A

X ) I.

Рис.6

Так, остов за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: X

I Y. Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W). Теорема доказана.

3.2 Следствия из теоремы Борсука

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.

Доказательство. Обозначим через

проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия f_t: А А, такая, что отображение f₀: А А тождественно и f (A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия F_t: Х Х, такая, что F₀ = id и F_t│_A =f_t. B частности F (A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как отображение, заданное на Х/А, точнее, что F ⁼q p, где q: Х/А X - некоторое непрерывное отображение. По построению, F ~F₀, т.е. q p ~ id .