Математическое моделирование и оптимизация системы массового обслуживания (стр. 2 из 4)
 |
или, переходя к обозначению l/m = r,
 | (8) |
[5], [6].
Цель данной работы заключается в разработке модели, имитирующей работу поста ГИБДД. Такая задача была поставлена для того, чтобы выявить эффективность работы системы обслуживания поста ГИБДД для дальнейшей ее оптимизации.
В данной работе предлагается к использованию одна из методик, которая предполагает разделение процесса моделирования на две части. Первая часть –обеспечивает нахождение параметров работы исходной задачи. Вторая часть – производится оптимизация определенных параметров при неизменных остальных параметров в таблицах MS Excel. Строятся графики функций. Производится их анализ и делаются выводы.
Рассмотрим подробнее математическую модель работы поста ГИБДД как системы массового обслуживания. Для решения задачи было принято допущение, что очередь клиентов ограничена, и, следовательно, данная модель является СМО с ограниченной очередью, где n – количество каналов обслуживания. Также принимаем допущение, что все потоки событий (случайные события) в системе являются Марковскими. Напомним, что случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Поток нарушителей в систему поступают с интенсивностью
. Тогда 
Вероятность отказа
.Относительная пропускная способность
.Абсолютная пропускная способность
.Среднее число заявок, связанных с системой
.Средняя длина очереди
.Количество, ожидающих в очереди
.Время в очереди
.Время в системе
.В результате планируется получить наиболее приближенную к реальности модель работы поста ГИБДД. Практическая значимость данной работы очевидна: модель позволяет путем экспериментов выявить наиболее оптимальное распределение ресурсов для повышения эффективности его работы. Также можно предположить применение данной модели на реальном объекте.
На шоссе проверяет скорость пост ГИБДД. На посту в течении дня работает 5 инспекторов. Рабочий день инспектора равен 10 часам. Режим работы – раз в трое суток. Затраты на одного инспектора равны 35000рублей в месяц (зарплата, налоги, спецобмундирование и др.). Инспектор оформляет протокол примерно за 12 минут. В течение часа скоростной режим нарушают в среднем 35 водителей. Инспекторы останавливают машину, если ожидают оформления не более четырех машин. Средний размер штрафа равен 250 рублям.
Определить параметры работы системы. Найти процент оштрафованных нарушителей. Каково среднее время, которое тратит водитель в ожидании оформления протокола? Сколько, в среднем, машин ожидает оформления? Какова средняя сумма от штрафов за месяц? Каковы месячные затраты на пост ДПС? Определить «прибыль» поста за месяц. (Ознакомительная задача).
Определить оптимальное (с точки зрения прибыли) число инспекторов на посту при сохранении остальных условий задачи.
Имеется возможность арендовать оборудование, позволяющее ускорить процесс оформления протокола. Стоимость аренды оборудования для одного инспектора линейно зависит от его эффективности и изображения на графике. Максимально возможная скорость – 10 протоколов в час. Определить оптимальные затраты на оборудование при неизменных остальных условиях задачи (число инспекторов равно пяти) и при числе инспекторов, полученных в п. 2. Определить параметры работы системы при этих затратах.
Рис. 2.
Провести оптимизацию по двум параметрам: числу инспекторов и затратам на ускоряющее оборудование. Определить параметры работы системы при паре оптимальных параметров. Сравнить с оптимизацией по каждому отдельному параметру.
Формализуем задачу.
Данную задачу можно отнести к задачам СМО с ограниченной очередью. Максимальная длина очереди равна m=5. Интенсивность потока требований (в качестве которого выступает поток нарушителей) равна
водителей в час. Исходно имеется пять каналов обслуживания (пять инспекторов находятся на посту единовременно): n=5. Среднее время обслуживания одним каналом (среднее время, которое тратит инспектор на один автомобиль) равно 
, тогда 
авт./мин 
авт./час.Найдем параметры работы исходной задачи.
30,4 % нарушителей не будет оштрафовано.
Процент оштрафованных нарушителей равен 69,6 %.
В среднем 24,35 автомобилей будет оштрафовано в час.
Почти все инспекторы (4,8 из 5)заняты.
Найдем среднюю длину очереди:
В среднем ожидает оформления 3 машины.
Время в очереди и системе:
часа = 7,2 мин. 
Таким образом, среднее время, которое тратит водитель в ожидании оформления протокола, равно 7,2 мин.
Найдем среднюю сумму штрафов за месяц
. Так как 
авт./час., сумма штрафа в среднем равна 250 руб., в месяце 30 дней по 10 рабочих часов, то: 
тыс.руб.Так как затраты на одного инспектора равны f=35000 руб./мес., а инспекторов по трижды по 5 человек, то месячные затраты на пост ДПС равны:
руб. = 525 тыс. руб.«Прибыль» поста складывается из суммы штрафов («дохода») минус затраты на инспекторов («расхода»). Таким образом, месячная «прибыль» поста равна:
тыс.руб.Определить оптимальное число инспекторов можно двумя способами. Во-первых, вручную вычислить все интересующие величины. Во-вторых, все величины можно вычислить в пакете MSExcel.
Составим таблицу 1. В строках 1-5 записаны исходные данные задачи. В столбце А с 10-й по 24-ую строку введены числа инспекторов.
Таблица 1.
В последнем столбце получено значение прибыли поста за месяц. Построим график этой величины в зависимости от числа инспекторов (рис.3). Тип диаграммы – точечная.
Рис. 3.
Из графика и по значениям в таблице 1 видно, что максимальная прибыль достигается при значении n=8 и равна 1635431 руб. в месяц.
Вывод: При прочих постоянных параметрах, выгоднее нанять 24 инспектора (по 8 инспекторов одновременно).
Определим оптимальные капиталовложения на ускорение оформления протоколов при пяти инспекторах. Требуется формализовать задачу.
Как видно из графика (рис.2), стоимость аренды оборудования для одного инспектора (будем ее обозначать R) линейно зависит от скорости оформления протокола (интенсивности
), т.е.