Математическое моделирование и оптимизация системы массового обслуживания (стр. 3 из 4)

.

Найдем значения параметров R₀и R₁. При

авт./час R=0. При авт./час R=2000 руб./день. Тогда:

Откуда получаем:

Т.о.

.

При этом

Оказывается удобнее выразить затраты на аренду через

, потому что все формулы содержат именно этот параметр. Так как авт./час, то

и следовательно

. (1)

При этом

Месячная «прибыль» поста в этом случае будет вычисляться по формуле:

(2)

При n=5 получаем:

(руб./мес.). (3)

Подставляя (1) в (3) получаем:

(4) (тыс. руб./мес.) при

Определив, при каком

достигается максимум функции прибыли , мы определим по формуле (1) оптимальные затраты на аренду оборудования.

Распишем функцию

:

Однако, анализировать такие громоздкие формулы неудобно. Анализ проведем в MSExcel. В табл. 2 показаны проведенные расчеты.

В строках 1-4 приведены данные задачи.

В столбце А с 7 по 42 строки протабулирован параметр

Таблица 2.

Построим график прибыли (рис.4):

Рис. 4.

Уточним оптимальное значение параметра

, дополнительно разбив промежуток на более мелкие интервалы. График функции на этом промежутке приведен на рис.5.

Рис. 5.

Фрагмент уточненной таблицы приведен в таблице 3.

Таблица 3.

Из графиков и по таблице 3 с высокой степенью точности можем принять в качестве оптимального значения

, а оптимальная прибыль равна примерно 1764 тысячи 17 рублей в месяц.

Определим, при каких затратах на аренду мы получим такую прибыль. Из (1):

руб./день.

Это позволит оформлять протоколы с интенсивностью

маш./час.

Вывод: если на посту работает одновременно 5 инспекторов, то наиболее выгодно вложить 1581 рубль в день в аренду техники для каждого инспектора. Тогда прибыль за месяц будет оптимальной и равной примерно 1764 тыс. 17 рублей.

Необходимо провести оптимизацию по двум параметрам n и

.

Имеем функцию

от двух переменных. Будем использовать формулу . (1)

Определив, при каких

и n достигается максимум функции прибыли , мы определим по формуле (1) оптимальные затраты на аренду оборудования.

Составим таблицы 4 – 5. В таблице 4 - n=3, n=4,n=5,n=6, в таблице 5 - n=7,n=8, n=9,n=10 . Рассмотрим промежуток

Таблица 4.

Таблица 5.

Рис. 6.

Из значений таблицы и графика, оптимальное число инспекторов равно 4. Построим для n=4 уточненный график (рис.7).

Рис. 7.

Из значений таблицы можно определить, что оптимальная интенсивность нагрузки равна

. Тогда оптимальные затраты на аренду равны:

руб./день.

Интенсивность работы инспектора равна:

маш./час.

Вывод: имея возможность менять число инспекторов на посту и арендовать ускоряющую технику, нужно организовать работу так, чтобы на посту одновременно находилось 4 инспектора, и для каждого из них арендовать техники на 2000 рублей в день. Это позволит получить прибыль 1779337 рублей в месяц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данном курсовом проекте представлена тема "Математическое моделирование и оптимизация системы массового обслуживания". Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время, что показано в рассмотренном примере.

Целью данного курсового проекта было определение

- параметров работы системы;

- оптимального числа инспекторов на посту при сохранении остальных условий задачи;

- оптимальных затрат на оборудование при неизменных остальных условиях задачи

- параметров работы системы при паре оптимальных параметров.

Данная задача является СМО с ограниченной очередью или СМО с ожиданием. В данной работе в первой части решения задачи проводится ее анализ, т.е. определяются основные параметры функционирования СМО при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках. Исходные характеристики – это интенсивность потока требований

, максимальная длина очереди m, количество каналов обслуживания n, среднее время обслуживания одним каналом , интенсивность обслуживания требований . В ходе решения первой части задачи мы определили такие основные параметры функционирования СМО: интенсивность нагрузки , предельные вероятности и вероятность отказа , относительную пропускную способность Q, абсолютную пропускную способность , среднее число заявок, связанных с системой , среднюю длину очереди D, время в очереди W₀, время в системе W_c, среднюю сумму штрафа за месяц С_штр, затраты на один канал f, затраты на пост в месяц F, прибыль поста Z. При решении задачи использовались формулы Эрланга. Во второй, третьей и четвертой частях решения задачи проводился синтез – оптимизация СМО. Здесь действия направлены на поиски оптимальных параметров СМО. Во второй и третьей частях определяются оптимальное число инспекторов на посту и затраты на оборудование соответственно, при неизменных остальных условиях задачи. Рассматриваются функции и , строятся их графики. В четвертой части решения задачи проводится оптимизация по двум параметрам, т.е рассматривается функция .