Решение параболических уравнений (стр. 2 из 4)
В схеме (1.7) участвуют 5 узлов, и эта схема имеет вид:
Первая и третья схемы – явные, вторая схема неявная. В случае явных схем значения функции в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. В случае неявных схем для нахождения значений решения в узлах очередного слоя приходится решать систему уравнений.
Для узлов начального (нулевого) слоя
значения решения выписываются с помощью начального условия (1.3): 
(1.8)Для граничных узлов, лежащих на прямых
и 
, заменив производные 
по формулам численного дифференцирования, получаем из граничных условий (1.4) следующие уравнения:
(1.9)Уравнения (1.9) аппроксимируют граничные условия (1.4) с погрешностью
, так как используем односторонние формулы численного дифференцирования. Погрешность аппроксимации можно понизить, если использовать более точные односторонние (с тремя узлами) формулы численного дифференцирования.Присоединяя к системе разностных уравнений, записанных для внутренних узлов, начальные и граничные условия (1.8) и (1.9) для разностной задачи получим полные разностные схемы трех видов. Для проведения вычислений самой простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции в узлах слоя
, чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев 
и т.д.Третья схема также весьма проста для проведения вычислений, но при ее использовании необходимо кроме значений решения в узлах слоя
найти каким-то образом значения функции и в слое 
. Далее вычислительный процесс легко организовывается. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи.С точки зрения точечной аппроксимации третья схема самая точная.
Введем в рассмотрение параметр
. Тогда наши разностные схемы можно переписать, вводя указанный параметр. При этом самый простой их вид будет при 
.В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.
Разрешимость этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. В случае неявных схем разрешимость системы следует исследовать в каждом конкретном случае. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток.
На практике следует применять сходящиеся разностные схемы, причем только те из них, которые являются устойчивыми, то есть при использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим отклонениям от точного решения. Всегда следует использовать устойчивые разностные схемы, проводя соответствующие исследования на устойчивость.
Первая из построенных выше разностных схем в случае первой краевой задачи будет устойчивой при
. Вторая схема устойчива при всех значениях величины 
. Третья схема неустойчива для любых , что сводит на нет все ее преимущества и делает невозможной к применению на ЭВМ.Явные схемы просты для организации вычислительного процесса, но имеют один весьма весомый недостаток: для их устойчивости приходится накладывать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но есть другая трудность – надо решать системы уравнений большой размерности, что на практике при нахождении решения сложных уравнений в протяженной области с высокой степенью точности может потребовать больших объемов памяти ЭВМ и времени на ожидание конечного результата. К счастью, прогресс не стоит на месте и уже сейчас мощности современных ЭВМ вполне достаточно для решения поставленных перед ними задач.
1.2 Метод прогонки решения разностной задачи для уравнений параболического типа
Рассмотрим частный случай задачи, поставленной в предыдущем разделе. В области
найти решение уравнения
(1.10)с граничными условиями
(1.11)и начальным условием
. (1.12)Рассмотрим устойчивую вычислительную схему, для которой величина
не является ограниченной сверху, а, значит, шаг по оси 
и 
может быть выбран достаточно крупным. Покроем область 
сеткой 
Запишем разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (1.10) во всех внутренних узлах слоя
. При этом будем использовать следующие формулы: 
, 
.Эти формулы имеет погрешность
. В результате уравнение (1.10) заменяется разностным: 
(1.13)Перепишем (1.13) в виде:
. (1.14)Данная вычислительная схема имеет следующую конфигурацию:
(1.15) 
(1.16)Система (1.14) – (1.16) представляет собой разностную задачу, соответствующую краевой задаче (1.10) – (1.12).
За величину
мы положили 
.(1.14) – (1.16) есть система линейных алгебраических уравнений с 3-диагональной матрицей, поэтому ее резонно решать методом прогонки, так как он в несколько раз превосходит по скорости метод Гаусса.
. (1.17)Здесь
, 
– некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Заменив в (1.17) 
на 
будем иметь: 
. (1.18)Подставив уравнение (1.18) в (1.14) получим:
. (1.19)Сравнив (1.17) и (1.19) найдем, что:
(1.20)Положим в (1.14)
и найдем из него 
: 
, 
. 
(1.21)Заметим, что во второй формуле (1.21) величина
подлежит замене на 
согласно первому условию (1.15).