Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания (стр. 3 из 9)
Эту систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными
, казалось бы, можно вполне решить. Но эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием: 
и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).Продолжение примера. Пусть значения интенсивностей потоков равны:
.Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное условие:
. 
.Т.е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в состоянии S0 (оба станка исправны), 20% - в состоянии S1 (первый станок ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S2 (второй станок ремонтируется, первый работает), 13% - в состоянии S3 (оба станка ремонтируются). Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.
Пусть система S в состоянии S0 (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S1 – доход 3 условные единицы, в состоянии S2 – доход 5 условных единиц, в состоянии S3 – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен:
условных единиц.Станок 1 ремонтируется долю времени, равную:
. Станок 2 ремонтируется долю времени, равную: 
. Возникает задача оптимизации. Пусть мы можем уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), но это нам обойдется в определенную сумму. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Нужно будет решить систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными.1.5 Задачи теории массового обслуживания
Примеры систем массового обслуживания (СМО): телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, станочные и другие технологические системы, системы управления гибких производственных систем и т.д.
Каждая СМО состоит из какого–то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого–то потока заявок (требований), поступающих в какие-то случайные моменты времени.
Обслуживание заявки продолжается какое–то, вообще говоря, случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в какие–то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
Процесс работы СМО – случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (прихода новой заявки, окончания обслуживания, момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).
Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками – показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.
Математический анализ работы СМО очень облегчается, если процесс этой работы Марковский, т.е. потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние – простейшие. Иначе математическое описание процесса очень усложняется и его редко удается довести до конкретных аналитических зависимостей. На практике не Марковские процессы с приближением приводятся к Марковским. Приведенный далее математический аппарат описывает Марковские процессы.
1.6 Классификация систем массового обслуживания
Первое деление (по наличию очередей):
1. СМО с отказами;
2. СМО с очередью.
В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.
В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.
СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания, «дисциплины обслуживания».
Итак, например, рассматриваются следующие СМО:
· СМО с нетерпеливыми заявками (длина очереди и время обслуживания ограничено);
· СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.
Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.
В открытой СМО характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). В замкнутой СМО – зависят. Например, если один рабочий обслуживает группу станков, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.
Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными разновидностями, но этого достаточно.
2. Системы массового обслуживания с ожиданием
2.1 Одноканальная СМО с ожиданием
Рассмотрим простейшую СМО с ожиданием — одноканальную систему (n - 1), в которую поступает поток заявок с интенсивностью
; интенсивность обслуживания 
(т.е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать 
обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т.е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m-заявок, она покидает систему не обслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.
Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):
— канал свободен; 
— канал занят, очереди нет; 
— канал занят, одна заявка стоит в очереди; 
— канал занят, k-1 заявок стоят в очереди; 
— канал занят, т-заявок стоят в очереди.ГСП показан на рис. 4. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны
, а справа налево — 
. Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево — поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность 
(как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди). 
Рис. 4. Одноканальная СМО с ожиданием
Изображенная на рис. 4 схема представляет собой схему размножения и гибели. Напишем выражения для предельных вероятностей состояний:
(5)или с использованием:
: 
(6)Последняя строка в (6) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р, откуда получаем:
(7)в связи с чем предельные вероятности принимают вид:
(8).Выражение (7) справедливо только при
< 1 (при 
= 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем 
= 1 равна m+2, и в этом случае: