Система массового обслуживания с ограниченным временем ожидания (стр. 8 из 9)

Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле:

t=

.

t=

=

0,22 ч.

Среднее время пребывания заявки в системе:

Т=t+

0,22+0,5=0,72.

Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность

=12 клиентов в час. Среднее время обслуживания t_обсл=20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

Для данной задачи n=3, m=3,

=12, μ=3, ρ=4, ρ/n=4/3. Вероятность простоя определяем по формуле:

Р₀=

.

P₀=

0,012.

Вероятность отказа в обслуживании определяем по формуле

Р_отк=Р_n+m=

.

P_отк=P_n+m

0,307.

Относительная пропускная способность системы, т.е. вероятность обслуживания:

P_обсл=1-P_отк

1-0,307=0,693.

Абсолютная пропускная способность:

А=

Робсл

12

.

Среднее число занятых каналов:

.

Средняя длина очереди определяется по формуле:

L=

L=

1,56.

Среднее время ожидания обслуживания в очереди:

t=

ч.

Среднее число заявок в СМО:

M=L+

.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

Т=М/

0,36 ч.

Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью

=0,5 отказа в час, среднее время ремонта t_рем=1/μ=0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

Эта задача рассматривает замкнутую СМО, μ=1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятность простоя рабочего определяем по формуле:

Р₀=

.

P₀=

.

Вероятность занятости рабочего Р_зан=1-Р₀

. Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы: А=(1-P₀)μ=0,85μ

станков в час.

Решение задачи

Задача:

Два рабочих обслуживают группу из четырех станков. Остановки работающего станка происходят в среднем через 30 мин. Среднее время наладки составляет 15 мин. Время работы и время наладки распределено по экспоненциальному закону.

Найдите среднюю долю свободного времени для каждого рабочего и среднее время работы станка.

Найдите те же характеристики для системы, в которой:

а) за каждым рабочим закреплены два станка;

б) два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью;

в) единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).

Решение:

Возможны следующие состояния системы S:

S₀ – все станки исправны;

S₁ – 1 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₂ – 2 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₃ – 3 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₄ – 4 станок ремонтируется, остальные исправны;

S₅ – (1, 2) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₆ – (1, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₇ – (1, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₈ – (2, 3) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₉ – (2, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₁₀ – (3, 4) станки ремонтируются, остальные исправны;

S₁₁ – (1, 2, 3) станки ремонтируются, 4 станок исправен;

S₁₂ – (1, 2, 4) станки ремонтируются, 3 станок исправен;

S₁₃ – (1, 3, 4) станки ремонтируются, 2 станок исправен;

S₁₄ – (2, 3, 4) станки ремонтируются, 1 станок исправен;

S₁₅ – все станки ремонтируются.

Граф состояний системы…

Данная система S является примером замкнутой системы, так как каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

.

Вероятность занятости рабочего:

.

Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы:

.

Ответ:

Средняя доля свободного времени для каждого рабочего ≈ 0,09.

Среднее время работы станка ≈ 3,64.

а) За каждым рабочим закреплены два станка.

Вероятность простоя рабочего определяется по формуле:

.

Вероятность занятости рабочего:

.

Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы:

.

Ответ:

Средняя доля свободного времени для каждого рабочего ≈ 0,62.

Среднее время работы станка ≈ 1,52.

б) Два рабочих всегда обслуживают станок вместе, причем с двойной интенсивностью.

в) Единственный неисправный станок обслуживают оба рабочих сразу (с двойной интенсивностью), а при появлении еще хотя бы одного неисправного станка они начинают работать порознь, причем каждый обслуживает один станок (вначале опишите систему в терминах процессов гибели и рождения).