Высшая математика для менеджеров (стр. 15 из 22)
Решение. По правилу 3, y'=(3x3-2x+1)'×sin x + (3x3-2x+1)×(sin x)' = = (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.
Пример 3.16. Найти y', y = tg x +
.Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx +
)' = (tgx)' + ( )' = 
+ 
= 
.Пример 3.17. Найти производную сложной функции y=
, u=x4 +1.Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'x =y 'u u'x =(
)'u(x4 +1)'x =(2u + 
. Так как u=x4 +1,то (2 x4 +2+ 
.Пример 3.18. Найти производную функции y=
.Решение. Представим функцию y=
в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ×2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x .Пример 3.19. Найти производную функции y=ln sin x.
Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x=
.Пример 3.20. Найти производную функции y=
.Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:
.Пример 3.21. Вычислить производную y=ln
.Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:
y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:
.7.2 Предельный анализ в экономике. Эластичность функции
В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками.
Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.
Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную
.Нахождение производительности труда. Пусть известна функция u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время Dt = t1 - t0: Du = u(t1) - u(t0) = u(t0+Dt) - u(t0). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= Du/Dt.
Производительностью труда рабочего z(t0) в момент t0 называется предел, к которому стремится z ср. при Dt®0:
. Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t0) = u'(t0).Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на Dх. Количеству продукции x+ Dх соответствуют издержки производства K(x + Dх). Следовательно, приращению количества продукции Dх соответствует приращение издержек производства продукции DK = K(x + Dх) - K(x).
Среднее приращение издержек производства есть DK/Dх. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.
Предел
называется предельными издержками производства.Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то
и называется предельной выручкой.С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y ¢ = f ¢(x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел
.Его обозначают Ex (y) = x/y f ¢ (x) =
.Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.
7.3 Экстремум функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).
Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(xо) (f(x) ³ f(xо)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(xо) = 0, либо f ¢(xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ¢ (x) в окрестности точки xо и вторую производную
в самой точке xо. Если f ¢(xо) = 0, >0 ( <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.