Высшая математика для менеджеров (стр. 19 из 22)

Пример 3.38. Вычислить J =

.

Решение. Учитывая, что

= d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 3.39. Вычислить интеграл J =

.

Решение. Имеем:

. Поэтому = = = .

Пример 3.40. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу

?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно,

= .

Но подынтегральная функция f(x) =

> 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) = имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример 3.41. Вычислить интеграл

.

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)=

.

По определению имеем:

= .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) = + = ;

= = .

8.2Использование интегралов в экономических расчетах

Пример 3.42. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией

f(t) = 3/(3t +1) + 4.

Решение. Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t₁ до t₂ будет выражаться формулой

V =

.

В нашем случае

V =

= ln 10 + 12 - ln 7 - 8 = ln 10/7 + 4.

Пример 3.43. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V =

.

Пример 3.44. Пусть сила роста (см.6.1) описывается некоторой непрерывной функцией времени d _t = f(t), тогда наращенная сумма находится как

S = P exр

d _t dt,

а современная величина платежа P = S exр(-

d _t dt).

Если, в чаcтности, d _t является линейной функцией времени: d _t = d _o + at, где d _o - величина силы роста для t = 0, a - годовой прирост, то

d _t dt = (d _o + at)dt = d _o n + an²/2;

множитель наращения exр(d _o n + an²/2). Если сила роста изменяется по геометрической прогрессии d _t = d _o a^t, где d _o - начальное значение процентной ставки, a - годовой коэффициент роста, тогда

d _t dt = d _o a^t dt = d _o a^t /lna = d _o(aⁿ -1)/lna;

множитель наращения exр(d _o(aⁿ -1) / lna).

Предположим, что начальный уровень силы роста равен 8%, процентная ставка ежегодно увеличивается на 20% (a=1,2), срок ссуды 5 лет. Множитель наращения в этом случае составит exр (0,08 (1,2⁵-1) / ln1,2) » » exр 0,653953 » 1,921397.

Пример 3.45. Выше при анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией R _t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна

.

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S =

.

Современная величина такого потока равна

A =

.

Пусть функция потока платежей является линейной: R_t = R_o + at, где R_o - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A =

= + .

Обозначим A₁ =

, A₂ = .

Имеем: A₁ =

= - R_o/d ê = - R_o/d( -e^o) = - R_o/d( -1) = = R_o( -1)/d. A₂ = . Вычислим неопределенный интеграл по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v = = - /d, тогда = - t /d + 1/d = - t /d (t+1/d) +C. Следовательно, A₂ = -a t /d (t+1/d)ê = ((1- )/d - n )a/d.

Итак, исходный интеграл

A = A₁ + A₂ = R_o(

-1)/d + ((1- )/d - n )a/d.

9. Дифференциальные уравнения

При изучении интегралов перед нами стояла задача: найти y, если

y¢ = f(x),

или dy = f(x)dx. Решение, как известно, дается формулой

y = ò f(x)dx

и сводится, таким образом, к вычислению неопределенного интеграла. Однако на практике значительно чаще встречается гораздо более сложная задача: найти функцию y, если известно, что она удовлетворяет данному соотношению вида

F(x, y, y¢, y¢¢,..., y⁽ⁿ⁾) = 0. (9.1)

Такого рода соотношения, связывающие независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные до некоторого порядка n включительно, называются дифференциальными уравнениями.

В дифференциальном уравнении, таким образом, неизвестной является функция, входящая в уравнение под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения.