Топологические пространства (стр. 5 из 8)

Пусть Х = [0; 1], Y = [0; 1]

[2; 3]. Рассмотрим проекцию

: X ´ Y ® Y (рис. 4), где pr_Y (x; y) = y Î Y для любой точки (x; y) Î X ´ Y. Множества X ´ Y и Y являются несвязными, но проекция – связное отображение (в силу теоремы 2.7, которая будет доказана в пункте 2.4).

Рассмотрим другие примеры связных отображений, связаные с непрерывными числовыми функциями.

Теорема 2.6. Непрерывная функция f : [a; b] → R является связной тогда и только тогда, когда она монотонна, т.е. когда для любых точек х, х¢ Î [a; b], где х £ х¢, выполняется только одно из двух свойств: f (x) £ f (x¢ ) либо f (x) ³ f (x¢ ).

Доказательство. Необходимость. Функция f является отображением компактного множества в хаусдорфово пространство, поэтому она замкнута (в силу предложения 2.1). Тогда, по теореме 2.3, функция f является послойно связной.

Предположим, что f – не монотонна. Тогда найдутся такие точки х₁, х₂, х₃ Î [a; b] и х₁ < х₂ < х₃, для которых выполняется система неревенств:

.

Положим f (x₁) = y₁, f (x₂) = y₂, f (x₃) = y₃ и y₃ ³ y₁ (или y₁ ³ y₃). Тогда слой f ^–1(y₃) является связным замкнутым подмножеством прямой y = y₃ (рис. 5), т.е. отрезком. По теореме о промежуточном значении функции, существует точка х¢ Î [x₁; x₂) и f (x¢ ) = y₃. В силу связности слоя f ^–1(y₃), отрезок [А ; В] (см. рис. 5) должен целиком лежать в слое f ^–1(y₃). Но точка (x₂; y₂), где x¢ < x₂ < x₃, не принадлежит прямой y = y₃, поэтому слой f ^–1(y₃) распадается на два непустых непересекающихся замкнутых в f ^–1(y₃) множества. Это противоречит послойной связности функции f. Следовательно, f – монотонна.

Достаточность. Предположим, что функция f не является связной. Следовательно, f не является послойно связной (по теореме 2.3). Тогда существует такая точка y¢ Î R, что слой f ^–1(y¢) – несвязен, т.е. f ^–1(y¢) = О₁

О₂, где О₁ и О₂ – непустые дизъюнктные замкнутые в f ^–1(y¢) множества (рис. 6). Следовательно, найдутся такие точки x₁ Î О₁, x₂ Î О₂ и точка х, где x₁ < x < x₂ и x Ï О₁, x Ï О₂, что

.

Но это противоречит условию монотонности функции f. Значит, функция f является связной. ÿ

Данная теорема утверждает, что связные функции, непрерывные на отрезке, – это либо невозрастающие, либо неубывающие функции.

Этот факт обобщается на случай интервала (a; b). Если связная функция f определена на R с конечным числом точек разрыва, то её монотонность в общем виде нарушается, но область определения можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция f будет монотонной.

2.4. Произведения пространств и проекции

Определение 17. Пусть Х и Y – топологические пространства с топологиями t_Х и t_Y соответственно. Топологическим произведением этих пространств называется множество X ´ Y с топологией t_{Х ´ Y}, образованной семейством всех множеств вида

U ´ V =

,

и их всевозможных объединений, где U Î t_Х, V Î t_Y и

: X ´ Y ® Х,

: X ´ Y ® Y – это проекции, причём

(x; y) = x и

(x; y) = y. Множества вида U ´ V = называются элементарными (или базисными) открытыми множествами.

Определение 18. Отображение f : X→Y называется открытым, если для каждого открытого множества О Í Х образ f (О) является открытым множеством в Y.

Лемма 2.2. Проекции

: X ´ Y ®Х и

: X ´ Y ® Y являются непрерывными открытыми отображениями.

Доказательство. Возьмём произвольное открытое в Х множество G. Прообраз этого множества

= G ´ Y по определению топологии произведения открыт в X ´ Y. Тогда проекции

и будут непрерывными отображениями.

Пусть точка z Î X ´ Y; Oz – её произвольная окрестность (рис.7). Найдётся базисная окрестность