Топологические пространства (стр. 6 из 8)

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим слой

= {(x; y): x Î X} = X ´ {y}. Он гомеоморфен множеству Х, поэтому является компактным множеством. Пусть О некоторая окрестность слоя . Рассмотрим произвольную точку z = (x; y) слоя Ì X ´ Y и её элементарную окрестность

G

,

где Ox – окрестность точки x в X, Oy – окрестность точки y в Y. Так как точка z произвольная, следовательно, такими окрестностями можно покрыть всё множество

. Пусть – это открытое покрытие множества . Тогда можно выделить конечное открытое подпокрытие , причём Ì О, которое будем рассматривать как некоторую окрестность слоя . Пусть

U =

,

где О_{i j} =

(G_{i j}). Тогда

Í Ì О,

т.е. проекция

является замкнутым над точкой у, и, следовательно, замкнутым отображением. €

Теорема 2.7. Пусть Х связное топологическое пространство. Тогда проекция

: X ´ Y ® Y является связным отображением.

Доказательство. Пусть х – произвольная фиксированная точка пространства Х. Рассмотрим слой

= = Y ´ {x}. Он гомеоморфен связному пространству Y, поэтому слой также связен. Предположим, что отображение

несвязное над точкой х, т.е. существует такая окресность Ох точки х, что трубка

является несвязной для всякой окрестности U Í Ox точки x. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U. Для неё найдутся непустые открытые в множества О₁ и О₂, что О₁ ∩ О₂ = Æ и О₁

О₂ = . Слой связен и , отсюда, по теореме 2.3, содержится либо в О₁, либо в О₂.

Рассмотрим произвольную точку w₁ Î О₁. Образ этой точки

= х₁ Ì U. Слой Ì О₁

О₂ = , и точка w₁ принадлежит множеству О₁ и слою , поэтому Ì О₁ (т.к. О₁ ∩ О₂ = Æ). Поскольку w₁ – произвольная точка множества О₁, то . Аналогично, .

Множества О₁ и О₂ дизъюнктные открытые в

и – открытое отображение. Следовательно,

(O₁) и

(O₂) – непустые дизъюнктные открытые в U множества и

(O₁)

(O₂) = U. Отсюда окрестность U несвязная, что противоречит выбору окрестности U. Таким образом, отображение

связное над точкой х и точка х произвольная, поэтому проекция

является связным отображением. €

Следствие 2.5. Если пространства Х и Y связные, то и их произведение X ´ Y является связным множеством.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть множество X ´ Y несвязное, т.е. X ´ Y = О₁

О₂, где О₁ и О₂ – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y множества.

Возьмём произвольную точку z Î О₁. Образ этой точки

(z) = x. Слой

Ì О₁ О₂ связен, и точка х Î О₁, следовательно, Ì О₁ (так как О₁ О₂ = Æ). В силу того, что точка z – произвольная, получим . Аналогично, . Множества О₁ и О₂ – непустые дизъюнктные открытые в X ´ Y, и отображение

– открытое, следовательно, множества и – непустые дизъюнктные открытые в Y и = Y. Это противоречит связности Y.

Доказательство можно получить проще. Так как пространство Х связное, то проекция

: X ´ Y ® Y является связным и непрерывным отображением (по теореме 2.7 и лемме 2.2). Пространство Y связное. Тогда, по теореме 2.4, X ´ Y – связное множество. 

Определение 19. Отображение f : X ® Y называется (замкнуто, открыто) параллельно пространству F, если существует такое топологическое вложение i : X ® Y ´ F пространства Х в топологическое произведение Y ´ F, что (множество i(X) соответственно замкнуто, открыто в Y ´ F и)