Дифференциальные уравнения (стр. 2 из 4)

Задача 5. Решить задачу Коши:

Решение:

- линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:

Ответ:

Задача 6. Найти решение задачи Коши:

, y(0)=1

Решение:

- уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y²):

Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:

z=y^-1

Следовательно:

- линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:

Откуда:

Найдём значение С₂

Следовательно:

Ответ:

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции

(*)

Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:

Дифференцируя полученное, имеем:

Но

Откуда:

Следовательно:

Ответ:

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:

Откуда

В результате получим следующий график:

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М₀ и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор

с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М₀(6;4), a=10

Решение:

Подставляя значения функции в точке M найдём значение С:

Ответ:

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

- дифференциальное уравнение третьего порядка

Пусть

Подставив в исходное уравнение, получим:

Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:

Следовательно:

Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:

Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y

Ответ:

Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

Данное уравнение не содержит х в явном виде

Предположим, что

откуда

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:

Разделим переменные и проинтегрируем выражение:

Но

. Тогда

Однако:

. Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:

Выясним значение С₂:

Следовательно:

Ответ:

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

- НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано в виде: