Целочисленные функции (стр. 4 из 6)

Что и требовалось доказать.

Задача 7.

Докажите принцип ящиков Дирихле: если n предметов размещены по m ящикам, то некоторый ящик должен содержать не меньше чем én/mù предметов, а некоторый ящик должен содержать не более чем ën/mû.

Решение:

Предположим, что каждый ящик содержит меньше, чем én/mù предметов. Тогда наибольшее количество предметов в каждом ящике — это

предметов. Следовательно, наибольшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Þ Þ . Это противоречит тому, что .

Значит, существует ящик, который содержит не менее чем én/mù предметов.

Предположим, что нет ящика, в котором не более, чем ën/mû предметов, т.е. каждый ящик содержит более чем ën/mû предметов. Тогда наименьшее количество предметов в каждом ящике —

. Следовательно, наименьшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Þ Þ . Это противоречит тому, что .

Значит, существует ящик, который содержит не более чем ën/mû предметов.

Что и требовалось доказать.

Задача 8.

Покажите, что выражение

всегда равно либо ëxû, либо éxù. При каких условиях получается тот или иной случай?

Решение:

1 случай: x = (4k-1)/2, kÎZ

Тогда

, так как - целое число.

Получим

= = = =

2 случай: x¹ (4k-1)/2, kÎZ, тогда

.

Получим

= =

Итак, данное выражение округляет числа до ближайшего целого; в случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — данное выражение округляет число в сторону чётного.

Задача 9.

Докажите, что

при любом целом n и любом целом положительном m.

Доказательство:

Пусть

.

Покажем, что

.

Имеем

Û

Û

(по свойствам (4)) Û

Û

Û

Û

Û

Û

Û

Û

Û

Û

Что и требовалось доказать.

Задача 10.

Пусть α и β — вещественные положительные числа. Докажите, что Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел тогда и только тогда, когда α и β иррациональны и

.

Решение:

Пусть α и β — вещественные положительные числа.

Докажем, что если Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, то α и β — иррациональные числа и

.

Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, тогда

.

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Рассмотрим

Þ

Þ

.

Докажем, что α и β иррациональны. Так как

, то числа α и β либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Если α и β оба рациональны, т.е. существует такое целое число m, что

и , где и — натуральные числа, тогда ÎSpec(α) и ÎSpec(β).

Но никакое число не содержится одновременно в двух спектрах, образующих разбиение всех целых положительных чисел. Следовательно, α и β — иррациональны.

Докажем обратное: если α и β иррациональны и

, то Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел.

Þ

Так как

и — иррациональны, то и — не целые числа, то

и

Отсюда получаем:

(так как и и — иррациональны, то ).

Получаем, что

. Отсюда Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех натуральных чисел.

Что и требовалось доказать.

Задача 11.

Докажите, что

при целом n.

Доказательство:

· если

( или ), то ,

тогда

.

Получаем верное равенство

.

· если

, тогда .