Целочисленные функции (стр. 5 из 6)
Правая часть имеет вид:
.Преобразуем левую часть:
.Получили, что
при любом целом 
. Что и требовалось доказать.Задача 12.
Имеется ли аналогичное (16) тождество, в котором вместо «полов» используются «потолки»?
Решение:
Тождество (16) 
получается из тождества (15)
заменой n на ëmxû.Аналогичное тождество для потолков получается из тождества (14)
заменой nна émxù:émxù =
==
= 
Итак, получили тождество аналогичное данному:
émxù = .Задача 13.
Докажите, что
. Найдите и докажите аналогичное выражение для 
вида 
, где ω – комплексное число 
.Доказательство:
При делении числа на 2 возможны только два различных остатка: либо 0, либо 1.
· если
, то 
и 
.· если
, 
и 
.Следовательно, равенство
верно для любого натурального n. Что и требовалось доказать.Найдём аналогичное выражение для
, т.е. найдём коэффициенты a, b, c.Поскольку
— есть корень третьей степени из 1, то 
и 
.Так как
, то 
.При делении числа на 3 возможны только три различных остатка: либо 0, либо 1, либо 2.
Если
, то 
.Если
, то 
.Если
, то 
.Решая систему
, находим a, b, c. 
, 
, 
.Итак, получаем следующую формулу:
.Задача 14.
Какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число
, чтобы равенство 
выполнялось при любом вещественном 
?Решение:
При любом вещественном
и равенство 
выполняется Ûb— целое число.Еслиb — целое число, то функция
непрерывная, возрастающая функция (так как ). Пусть 
— целое число, т.е. 
. Тогда 
, так как и . Выражая 
через 
, получим 
— целое, как натуральное число в неотрицательной целой степени. Поэтому можно применить формулу (6) и получить равенство .Если b — не целое число, то при
равенство не будет выполняться, так как 
Итак, если
, то равенство выполняется при любом вещественном тогда и только тогда, когда b— целое число.Ответ: b — целое число.
Задача 15.
Найдите сумму всех чисел, кратных x, в замкнутом интервале [a, b], при
.Решение:
Числа, кратные
имеют вид 
, где 
. Нужно просуммировать те из чисел , для которых 
. Учитывая, что и (4), имеем Û 
Û 
.Нам нужно вычислить следующую сумму:
.В этой сумме
можно вынести за скобки, а в скобке останется сумма всех чисел от 
до 
включительно. Применяя формулу арифметической прогрессии получаем: 
.Задача 16.
Покажите, что n-й член последовательности 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,… равен
. (Каждое число m входит в данную последовательность m раз.)Решение:
В этой последовательности чисел меньших
будет 
, а чисел не превосходящих будет 
. Поэтому, если xn=m, то