Вивчення функцій рядів Фур'є (стр. 5 из 6)
Можна використовувати сваволю у визначенні функції в проміжку
так, що б одержати для 
розкладання тільки лише по косинусах або тільки по синусах. Дійсно, представимо семі, що для 
ми думаємо 
, так що в результаті виходить парна функція в проміжку 
. Її розкладання, як ми бачили, буде містити одні лише косинуси. Коефіцієнти розкладання можна обчислювати по формулах (22), куди входять лише значення спочатку заданої функції .Аналогічно, якщо доповнити визначення функції
за законом непарності, то вона стане непарної й у її розкладанні будуть одні лише синуси. Коефіцієнти її розкладання визначаються по формулах (24).Таким чином, задану в проміжку
функцію при дотриманні умов виявляється можливим розкладати як по косинусах, так і по одним лише синусах.Особливого дослідження вимагають крапки
й 
. Тут обоє розкладання поводяться по-різному. Припустимо, для простоти, що задана функція безперервна при й , і розглянемо спочатку розкладання по косинусах. Умова , насамперед, зберігає безперервність при , так що ряд (21) при буде сходитися саме к. 
Тому що, далі, 
те й при
має помста аналогічна обставина.Інакше є справа з розкладанням по синусах. У крапках
і сума ряду (23) явно буде нулем. Тому вона може дати нам значення й 
, мабуть, лише в тому випадку, якщо ці значення дорівнюють нулю.Якщо функція
задана в проміжку 
те, удавшись до тієї ж заміни змінної, що й у попередньому параграфі, ми зведемо питання про розкладання її в ряд по косинусах 
або в ряд по синусах
до тільки що розглянутого. При цьому коефіцієнти розкладань обчислюються, відповідно, по формулах
або
.8. Приклади розкладання функцій у ряд Фур'є
Функції, які нижче приводяться як приклади, як правило, ставляться до класу диференцуємих або кусочно-диференцуємих. Тому сама можливість їхнього розкладання в ряд Фур'є-Поза сумнівом, і на цьому ми зупинятися не будемо.
Всі завдання взяті зі Збірника задач і вправ по математичному аналізі, Б. Н. Демидович.
№ 2636. Функцію
розкласти в ряд Фур'є.Тому що функція
є непарної, те, отже, 
буде парною. Тому її розкладання в ряд Фур'є містить одні лише косинусів.Знайдемо коефіцієнти розкладання;
№ 2938. Розкласти в ряд Фур'є функцію
. Зобразити цієї функції й графіки декількох приватних сум ряду Фур'є цієї функції. 
Функція
непарна, тому її розкладання буде містити одні лише синуси.
Тобто, виходить, що при парних значеннях n коефіцієнт
, а отже й весь доданок, звертається в нуль. Тому підсумовування йде тільки лише за парним значенням n.Ряд Фур'є для цієї функції прийме наступний вид:
. 
Нижче зображені графіки функцій
і декількох часток сум ряду Фур'є:Графік функції
, 
, 
і 
№ 2940.
в інтервалі 
.Функція
непарна. 
№ 2941.
в інтервалі 
. 
У підсумку одержуємо ряд Фур'є:
№ 2941.
в інтервалі .Функція
парна. 
Як і в № 2938, у нас при парних значеннях n коефіцієнт
звертається в нуль. Тому підсумувати будемо лише за непарним значенням.У підсумку одержимо:
№ 2950.
в інтервалі .Функція
парна. 
Тому що при n=1 знаменник звертається в нуль, то підсумовування необхідно зробити починаючи у двійки.
№ 2951.
в інтервалі 
.Функція
непарна.