Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (стр. 3 из 4)

Пример. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве Н функционал F(x)= ||х||². Тогда

||x+ h||²-||x||² = 2(x, h) + || h||²;

величина 2(x,h)представляет собой главную линейную (по h) часть этого выражения, следовательно,

F' (x) = F'_c(x) = 2х.

Абстрактные функции

Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов X. Отображение F(x),сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная F'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У — касательный вектор к кривой F(x).Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной.

Интеграл

Пусть F— абстрактная функция действительного аргумента tсо значениями в банаховом пространстве У. Если Fзадана на отрезке [а, b], то можно определить интеграл функции Fпо отрезку [а,b]. Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм

,

отвечающих разбиениям

ф = е₀Бе₁Б ююю Бе_т = иб о_л

хе_лбе_л+1ъб

при условии, что max(t_k+1-t_k)

0. Интеграл (представляющий, собой, очевидно, элемент из Y) обозначается символом

Рассуждения, в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимающих скалярные значения, показывают, что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла.

Производные высших порядков

Пусть F— дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F'(x)при каждом x

Xесть элемент из о (X, У), т. е. F'есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения Fи обозначается символом F".Таким образом, F"(x)есть элемент пространства о (Х, о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о(X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х')

У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых

из X и любых чисел имеют место равенства:

В (

x₁ + х₂, ) = В ( , )+ В (х₂, ),

В (x₁,

+ ) = В ( , )+ В(x_1, );

2. существует такое положительное число М, что

||В(х, х') ||

M||x|| ||x’|| (17)

при всех х, х'

X.

Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х², У). При полноте У полно и В(Х², У).

Каждому элементу А из пространства о(Х,о(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х², У), положив

В(х, х') = (Ах)х'.(18)

Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство о(X,о(Х,У)) на все пространство B(X²,Y).Действительно, если у=В(х, х') = (Ах)х', то

||y||

||Ax|| ||x’|| ||A|| ||x|| ||x’||,

откуда

||B||

||A||(19)

С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном x

Xотображение

х'→ (Ах)х' = В(х, х')

есть линейное отображение пространства X в У.

Таким образом, каждому x

Xставится в соответствие элемент Ах пространства о(X,У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства о(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и

||Ах||=

||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B|| ||x||,

Откуда

||A||

||B||(20)

Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X²,Y)и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства о(Х, о(Х, У)) есть все В(Х², У).

Мы выяснили, что вторая производная F"(x)есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать F"(x)элементом пространства В(Х², Y).

Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения F,действующего из X в Y,определив п-ю производную как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства о(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Х^п, У)n-линейных отображений X в У.

При этом под n-линейным отображением понимается такое соответствие y=N(x', х", ...,x⁽ⁿ⁾) между упорядоченными системами (х', х", .. . , x⁽ⁿ⁾) элементов из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хⁱпри фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию

|| N (x', х", ..., x⁽ⁿ⁾) ||

М || х' || • || х" || ... || x⁽ⁿ⁾ ||.

Таким образом, п-ю производную отображения Fможно считать, элементом пространства N(Xⁿ,У).

Дифференциалы высших порядков

Мы определили (сильный) дифференциал отображения Fкак результат применения к элементу h

Х линейного оператора F'(x),т. е.

dF= F'(x)h

Дифференциал второго порядка определяется как

d²F= F" (х)(h, h),

т. е. как квадратичное выражение, отвечающее отображению

F''(х)

В(X², У)

Аналогично дифференциалом п-го порядка называется

dⁿF=F⁽ⁿ⁾(x)(h,h,h),

т. е. тот элемент пространства У, в который элемент (h, h, ..., h)

переводится отображением ^F(n)(x).