Дифференцирование в линейных нормированных пространствах (стр. 4 из 4)

Формула Тейлора

Сильная дифференцируемость отображения Fозначает, что разность

F(x+h)—F(x)

может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно ||h||. Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций.

Теорема 2. Пусть F— отображение, действующее из X в У, определенное в некоторой области О

X и такое, что F⁽ⁿ⁾(x) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство

f(x + h)-F(x) = F'(x)h +

F"(x)(h, h)+ ...

... +

F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + щ (х, h), (21)

где

Доказательство будем вести по индукции. При n= 1 равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное nи предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой nна n-1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых nзаменено на п-1. Тогда для отображения F'имеем

F'(x+ h) = F'(x) + F"(x)h+

F"'(x)(h,h) + ...

… +

F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + щ₁ (х, h), (22)

где

||щ₁ (х, h)|| = o(||h||^n-1)

Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку [х, x+h] и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим

, (21)

Где

.

из (23) получаем

А(ч+ р)-А (х)= Аэ(ч)р +

АЭ(ч)(рбр)+ ююю

…+

F⁽ⁿ⁾(x)(h,…,h) + R_n, причем

||R_n||

Тем самым наше утверждение доказано.

Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений.

Заключение

В этой работе представлены некоторые первоначальные понятия , относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий.

Некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер; они приводят к необходимости развивать наряду с «линейными» и « нелинейными» функциональный анализ, т.е изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах.

К нелинейному функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариационное исчисление, основы которого были заложены еще в XVII-XVIIIвв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа. Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения.

Список литературы:

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. - Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. – 475 с.

2. Шилов Г.Е. – Дифференцирование функций в линейном пространстве. Ярославль, 1978. – 118стр.

3. Банах С. – Дифференциальное и интегральное исчисление. М.,Наука, 1972. – 424стр.