Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей (стр. 1 из 3)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 4

Секция: математика

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

по теме

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Позолотина Наталья Андреевна, 9^б класс,

МОУ СОШ №4 Центрального района.

224-49-85

Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна,

кандидат педагогических наук,

доцент кафедры математического анализа НГПУ.

(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)

Новосибирск 2008

Содержание

Введение

1. Основные понятия и определения

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Упражнения

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Упражнения

2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных

Упражнения

2.5 Случай с n последовательностями из n переменных

Упражнения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:

- сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;

- графически (исследование свойств и построение графиков функции)

Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.

В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.

Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.

1. Основные понятия и определения

В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.

Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.

Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…

Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:

Z = N

-N {0}

Определение 4. Рациональные числа Q– это числа представимые обычными дробями в виде

, где mєZ, nє N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).

Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде

.

Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.

R=Q

I

Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.

Например:

,

Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:

а) a<b, b<c

a<c

b) a

b, b a a=b

c) a

b a+c b+c

d) a

0 -a 0

Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства.

Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.

Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.

Обозначение: f₁(x)>f₂(x)

ц₁(x)>ц₂(x) – второе неравенство – следствие первого.

Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.

Обозначаются равносильные неравенства: f₁(x)>f₂(x)

ц₁(x)>ц₂(x)

Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:

– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;

– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;

– умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.

Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.

Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.

Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n єN

1) Проверяем правдивость Р(1)

2) Предполагаем, что P(k) истинно

3) Доказываем истинность Р(k+1)

4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.

Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида (а₁ а₂ … а_n)(b₁ b_{2 …} b_n) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁ а₂ … а_nнаходится над наибольшим числом из чисел b₁ b_{2 …} b_n и второе по величине из чисел а₁ а₂ … а_n над вторым по величине из чисел b₁ b_{2 …} b_n и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.

Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а₁, а₂, …а_n), (b ₁, b₂,…b_n), …( d ₁, d ₂,…, d_n) это число вида

= а₁b₁…d₁+а₂b₂…d₂+ …+a_nb_n…d_n

2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

а₁*b₁ – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда

= a₁b_1.

Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.

2.2Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если

= a₁b₁. то =а₁b₁+а₂b₂

Теорема 1. Пусть (а₁а₂₎

(b₁b₂) – одномонотонные последовательности. Тогда

Доказательство

Действительно,

– =a₁b₁+a₂b₂-a₁b₂-a₂b₁ = (a₁-a₂) (b₁-b₂)

Так как последовательности (а₁а₂)(b₁b₂) одномонотонны, то числа a₁-a₂ и b₁-b₂ имеют одинаковый знак. Поэтому

(a₁-a₂)

(b₁-b₂) 0.

Теорема доказана.

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1