Простейшие способы обработки опытных данных (стр. 2 из 4)

Вспомогательная таблица имеет вид

k	lg x_k	lg² x_k	lg y_k	lg x_k * lg y_k
1	lg x₁	lg² x₁	lg y₁	lg x₁ * lg y₁
2	lg x₂	lg² x₂	lg y₂	lg x₂ * lg y₂
…	…	…	…	…
n	lg x_n	lg² x_n	lg y_n	lg x_n * lg y_n
∑

Из системы (3) определяют A и q.

§2. Применение простейших способов обработки опытных данных к конкретным процессам.

2.1.Применение простейших способов обработки опытных данных к математической модели .

Задача 1. На рисунке 1 изображена индикаторная диаграмма (упрощенная) паровой машины

10 B

35 70 t

рис.1

Точки кривой ВС соответствуют значениям из таблицы 1:

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,41	7,21	6,29	5,56	4,96	4,47	4,06

Нужно, используя способ средних и способ наименьших квадратов, найти

такую функцию, график которой наиболее приближен к данным точкам.

Способом средних подберем функцию вида S = A*t^q , отвечающую

таблице 1. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.Подставив

онкретные значения S и t, получим:

δ`₁= lg A + 1,5441*q – 1,0000 ,

δ`₂= lg A + 1,6021*q – 0,9248 ,

δ`₃= lg A + 1,6532*q – 0,8579 ,

δ`₄= lg A + 1,6990*q – 0,7987 ,

δ`₅= lg A + 1,7404*q – 0,7451 ,

δ`₆= lg A + 1,7782*q – 0,6955 ,

δ`₇= lg A + 1,8129*q – 0,6503 ,

δ`₈= lg A + 1,8451*q – 0,6085 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получаем систему уравнений для определения параметров А и q:

4*lgA+6,4984*q=3,5814 ,

4*lgA+7,1766*q=2,6994 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017,02 . Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 1017,02 * t^–1,3 .

t	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,41	7,22	6,29	5,56	4,97	4,47	4,06

Ошибка составляет: Σ (ΔS_i)²= 0,01²+ 0,01²= 0,0002 .

Способом наименьших квадратов подберем степенную функцию

вида S = A*t^q , отвечающую таблице 1.

Составим вспомогательную таблицу:

K	x_k= lg S_k	x_k²	y_k= lg S_k	x_k* y_k
1	1,5441	2,3842	1,0000	1,5441
2	1,6021	2,5667	0,9248	1,4816
3	1,6532	2,7331	0,8579	1,4183
4	1,6990	2,8866	0,7987	1,3570
5	1,7404	3,0290	0,7451	1,2968
6	1,7782	3,1620	0,6955	1,2367
7	1,8129	3,2866	0,6503	1,1789
8	1,8451	3,4133	0,6085	1,1227
∑	13,6748	23,4516	6,2808	10,6362

Получаем систему уравнений:

13,6748*q+8*lgA=6,2808 ,

23,4516*q+13,6748*lgA=10,6362 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 1017 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 1017*t^–1,3.

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	10	8,42	7,22	6,29	5,56	4,96	4,48	4,06

Ошибка составляет: Σ (ΔS_i)²= 0,01²+ 0,01²+0,01²= 0,0003 .

Способом наименьших квадратов подберем показательную

функцию S = A*e^ct, отвечающую таблице 1.

Составим вспомогательную таблицу:

K	T	t²	y=lgS_k	T*y
1	35	1225	1,0000	35,0000
2	40	1600	0,9248	36,9920
3	45	2025	0,8379	38,6055
4	50	2500	0,7987	39,9350
5	55	3025	0,7451	40,9805
6	60	3600	0,6955	41,7300
7	65	4225	0,6503	42,2695
8	70	4900	0,6085	42,5950
∑	420	23100	6,2808	318,1075

Получаем систему уравнений:

420*c*lge + 8*lgA = 6,2808 ,

23100*c*lge + 420*lgA = 318,1063 .

Решение этой системы c = - 0,026 , A = 23,27 .Таким образом, искомая показательная функция имеет вид S = 23,27 * e^{– 0,026*}^t .

T	35	40	45	50	55	60	65	70
S	9,39	8,25	7,25	6,37	5,59	4,91	4,32	3,79

Ошибка составляет:

Σ (Δ S_i)²= 0,3721 + 0,0256 + 0,0016 + 0,0064 + 0,0009 + 0,0025 +

+ 0,0729 = 0,5045.

Таким образом, кривую ВС для заданных значений t и S

(таблица 1) наиболее точно описывает степенная функция вида

S = A*t^q , найденная с помощью способа средних.

2.2.Применение простейших способов обработки опытных данных

к физической модели .

Задача 2. На рисунке 2 представлена индикаторная диаграмма

дизельного двигателя

Рис.2

Адиабата ВС соответствует значениям таблицы 2:

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,21	10,64	8,39	6,87	5,77	4,95	4,32

Адиабата AD соответствует значениям таблицы 3:

T	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	13,73	7,94	5,39	3,99	3,12	2,53	2,11	1,8	1,56

Требуется с помощью способа средних и способа наименьших

квадратов для адиабат AD и BC найти такие функции, графики которых

наиболее приближены к данным точкам.

Рассмотрим адиабату ВС.

Способом средних подберем функцию вида S = A*t^q, отвечающую

таблице 2. Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS.Подставив

конкретные значения S и t, получим:

δ`₁= lg A + 0,6021*q – 1,5441 ,

δ`₂= lg A + 0,7782*q – 1,3151 ,

δ`₃= lg A + 1,9031*q – 1,1526 ,

δ`₄= lg A + 1,0000*q – 1,0269 ,

δ`₅= lg A + 1,0792*q – 0,9238 ,

δ`₆= lg A + 1,1461*q – 0,8370 ,

δ`₇= lg A + 1,2041*q – 0,7612 ,

δ`₈= lg A + 1,2553*q – 0,6946 ,

δ`₉= lgA + 1,3010*q – 0,6355 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров А и q:

5*lgA+4,3626*q=5,9625 ,

4*lgA+4,9065*q=2,9283 .

Решение этой системы q = -1.3 , A = 212.22 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 212.22*t^{– 1,3} .

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,22	10,64	8,39	6,87	5,77	4,95	4,32

Ошибка составляет: Σ (ΔS_i)²= 0,01²= 0,0001 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида S = A*t^q , которая отвечает таблице 2.

Составим вспомогательную таблицу:

K	x_k= lg t_k	x_k²	y_k= lg S_k	x_k*y_k
1	0,6021	0,3625	1,5441	0,9297
2	0,7782	0,6056	1,3151	1,0234
3	0,9031	0,7028	1,1526	1,0412
4	1,0000	1,0000	1,0269	1,0269
5	1,0792	1,1647	0,9238	0,9970
6	1,1461	1,3135	0,8370	0,9593
7	1,2041	1,4499	0,7612	0,9166
8	1,2553	1,5758	0,6946	0,8710
9	1,3010	1,6926	0,6355	0,8268
∑	9,2690	9,9802	8,8907	8,5928

Получаем систему уравнений:

9,2690*q+9*lgA=8,8907 ,

9,9802*q+ 9,2690*lgA=8,5928 .

Решение этой системы q = -1,3 , A = 212,21 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 212,21*t^–1,3 .

T	4	6	8	10	12	14	16	18	20
S	35	20,66	14,22	10,65	8,39	6,87	5,77	4,95	4,31

Ошибка составляет: Σ (ΔS_i)² = 0,01²+ 0,01²= 0,0002 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*e^ct, отвечающую таблице 2.

Составим вспомогательную таблицу:

K	t	t²	y=lg S_k	T * y
1	4	16	1,5441	6,1764
2	6	36	1,3151	7,8906
3	8	64	1,1526	9,2232
4	10	100	1,0269	10,2690
5	12	144	0,9238	11,0856
6	14	196	0,8370	11,7180
7	16	256	0,7612	12,1792
8	18	324	0,6946	12,5028
9	20	400	0,6355	12,7100
∑	108	1536	8,8907	93,7548

Получаем систему уравнений: