Простейшие способы обработки опытных данных (стр. 4 из 4)

Σ (Δ S_i)²= 1,3²+ (-1,89)²+ (-2,47)²+ (-2,03)²+ (-1,19)²+ (-0,48)²+ 0,28²+

+ 1,02²+ (-2,29)²= 23,4933.

Для кривой AB подберем функцию вида S=a₀+ a₁*t + a₂*t² с

помощью способа средних, отвечающую таблице 4.2:

T	7,7	15,8	23,9
S	60,6	53,0	32,2

Уклонения имеют вид δ`= a₀+ a₁*t + a₂*t² - S. Подставив конкретные

значения S и t, получим:

δ`₁= a₀+ 7,7*a₁+ 59,29*a₂ – 60,6 ,

δ`₂= a₀+ 15,8*a₁+ 249,64*a₂ – 53,0 ,

δ`₃= a₀+ 23,9*a₁+ 571,21*a₂ – 32,2 .

Приравняв нулю эти уклонения, получим систему трех уравнений

для определения параметров a₀, a₁, a₂:

a₀+ 7,7*a₁+ 59,29*a₂ = 60,6

a₀+ 15,8*a₁+ 249,64*a₂ = 53,0

a₀+ 23,9*a₁+ 571,21*a₂ = 32,2

Решениеэтойсистемы a₀ = 55,67, a₁= 1,41,a₂= - 0,1.Такимобразом,

искомая квадратичная функция имеет вид S= 55,67 + 1,41*t – 0,1*t².

T	7,7	15,8	23,9
S	60,6	52,98	32,25

Ошибка составляет:

Σ (ΔS_i)²= 0,02²+ (-0,05)² = 0,0029.

Таким образом, кривую BC для заданных значений t и S

(таблица 4.1) наиболее точно описывает степенная функция вида

S = A*t^q , найденная с помощью способа наименьших квадратов. А

кривую AB для заданных значений t и S (таблица 4.2) наиболее точно

описывает квадратичная функция вида S = a₀+ a₁*t + a₂*t², найденная

с помощью способа средних.

Для кривой HD подберем функции вида S = A*t^q и S = A*e^ct с

помощью способа средних и способа наименьших квадратов,

соответствующие таблице 5.1:

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,6	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,3	1,8	5,7

Способом средних подберем функцию вида S = A*t^q , отвечающую

таблице 5.1.Уклонения имеют вид δ`= lgA + q*lgt – lgS. Подставив

конкретные значения S и t, получим:

δ`₁= lg A + 1,3783*q – (- 0,2218) ,

δ`₂= lg A + 1,5052*q – (- 0,2218) ,

δ`₃= lg A + 1,6031*q – (-0,1549) ,

δ`₄= lg A + 1,6831*q – (-0,0969) ,

δ`₅= lg A + 1,7505*q – (- 0,0458) ,

δ`₆= lg A + 1,8089*q – 0 ,

δ`₇= lg A + 1,8604*q – 0,1139 ,

δ`₈= lg A + 1,9063*q – 0,2553 ,

δ`₉= lgA + 1,9479*q – 0,7559 .

Приравняв нулю сумму уклонений по этим двум группам, получим

систему уравнений для определения параметров A и q:

5*lgA+7,9202*q= - 0,7412 ,

4*lgA+7,5234*q= 1,1251.

Решение этой системы q = 1,45 , A = 0,004 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 0,004*t^1,45 .

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,40	0,61	0,84	1,1	1,38	1,67	1,99	2,32	2,67

Ошибка составляет:

Σ (Δ S_i)²= 0,2²+ (-0,01)²+(-0,14)²+ (-0,3)² + (-0,48)²+ (-0,67)² + (-0,69)²+

+ (-0,52)²+ 3,03²= 10,7564 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*t^q , отвечающая таблице 5.1.

Составим вспомогательную таблицу:

k	x_k= lg S_k	x _k²	y_k= lg S_k	x_k*y_k
1	1,3784	1,9000	-0,2218	-0,3057
2	1,5052	2,2656	-0,2218	-0,3338
3	1,6031	2,5699	-0,1549	-0,2483
4	1,6831	2,8328	-0,0969	-0,1631
5	1,7505	3,0643	-0,0458	-0,0802
6	1,8089	3,2721	0	0
7	1,8604	3,4611	0,1139	0,2119
8	1,9063	3,6340	0,2553	0,4867
9	1,9479	3,7943	0,7559	1,4724
∑	15,4438	26,7941	0,3839	1,0399

Получаем систему уравнений:

15,4438*q+9*lgA=0,3839 ,

26,7941*q+15,4438*lgA=1,0399.

Решение этой системы q = 1,3 , A = 0,006 .Таким образом, искомая

степенная функция имеет вид S = 0,006 * t^1,3 .

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,4	0,54	0,73	0,92	1,13	1,35	1,57	1,8	2,04

Ошибка составляет:

Σ (Δ S_i)²= 0,2²+0,06²+(-0,03)²+ (-0,12)² + (-0,23)²+(-0,35)² + (-0,27)²+

+ 3,66²= 13,7028 .

Способом наименьших квадратов подберем функцию вида

S = A*e^ct, отвечающая таблице 5.1.

Составим вспомогательную таблицу:

k	t	t²	y = lg S_k	t*y
1	23,9	571,21	-0,2218	-5,3010
2	32,0	1024,0	-0,2218	-7,0976
3	40,1	1608,01	-0,1549	-6,2115
4	48,2	2323,24	-0,0969	-4,6706
5	56,3	3169,69	-0,0458	-2,5785
6	64,4	4147,36	0	0
7	72,5	5256,25	0,1139	8,2578
8	80,6	6496,36	0,2553	20,5772
9	88,7	7867,69	0,7559	67,0483
∑	506,7	32763,81	0,3839	70,0241

Получаем систему уравнений:

506,7*c*lge + 9*lg A = 0,3839 ,

32763,81*c*lge + 506,7*lg A = 70,0241.

Решение этой системы c = 0,03 , A = 0,25 .Таким образом, искомая

показательная функция имеет вид S = 0,25e^{0,03 *}^t .

T	23,9	32,0	40,1	48,2	56,3	64,4	72,5	80,6	88,7
S	0,51	0,65	0,83	1,06	1,35	1,72	2,19	2,79	3,55

Ошибка составляет:

Σ (Δ S_i)²= 0,09²+ (-0,05)²+(-0,13)²+(-0,26)² + (-0,45)²+(-0,72)² +

+(-0,89)²+(-0,99)²+ 2,15²=7,2107 .

Для кривой EH подберем квадратичную функцию вида

S=a₀+ a₁*t + a₂*t² с помощью способа средних, отвечающую таблице 5.2:

T	7,7	15.8	23,9
S	5,8	1,2	0,6

Уклонения имеют вид δ`= a₀+ a₁*t + a₂*t² - S. Подставив конкретные значения S и t, получим:

δ`₁= a₀+ 7,7*a₁+ 59,29*a₂ – 5,8 ,

δ`₂= a₀+15,8*a₁+ 249,64*a₂ – 1,2 ,

δ`₃= a₀+ 23,9*a₁+ 571,21*a₂ – 0,6 .

Приравняв нулю эти уклонения, получим систему трех уравнений

для определения параметров a₀, a₁, a₂:

a₀+ 7,7*a₁+ 59,29* a₂ = 5,8 ,

a₀+15,8*a₁+ 249,64* a₂ = 1,2 ,

a₀+ 23,9*a₁+ 571,21* a₂ = 0,6 .

Решениеэтойсистемы a₀ = 13,8 , a₁= -1,27, a₂= 0,03 .Такимобразом,

искомая квадратичная функция имеет вид S = 13,8 – 1,27*t + 0,03*t².

T	7,7	15,8	23,9
S	5,78	1,22	0,58

Ошибка составляет:

Σ (Δ S_i)²= 0,02²+ (-0,02)² + 0,02²= 0,0012.

Таким образом, кривую HD для заданных значениях t и S

(таблица 5.1) наиболее точно описывает показательная функция

S = A*e^ct, найденная с помощью способа наименьших квадратов.

А кривую EH для заданных значениях t и S (таблица 5.2) наиболее

точно описывает квадратичная функция S=a₀+ a₁*t + a₂*t² .

Для реального процесса работы пара в цилиндре, зная только

одиннадцать значений (t; S), мы подобрали функции:

- кривую AB наиболее точно описывает квадратичная функция

S = 55,67 + 1,41*t – 0,1*t² , где t є [0;23,9];

- кривую BC наиболее точно описывает степенная функция

S = 900,27 * t^-1,03, где t є [23,9;+∞);

- кривую EH наиболее точно описывает квадратичная функция

S = 13,8 - 1,27*t + 0,03*t² , где t є [0;23,9];

- кривую HD наиболее точно описывает показательная функция

S = 0,25 * e^{0,03 *}^t, где t є [23,9;+∞).

Cпомощью найденных функций можно:

ä- приближенно вычислить работу пара в цилиндре не только в

заданных точках, но и в промежуточных. Например, можно примерно подсчитать, что при объеме пара t = 55 в процессе расширения давление

пара в цилиндре S= 900,27*55^-1,03 = 14,51 , а в процессе сжатия

S = 0,25*e^{0,03 *55}= 1,3. При объеме пара t = 10 в процессе расширения

давление пара в цилиндре S = 55,67 + 1,41*10 – 0,1*10² = 59,77 ,а в

процессе сжигания S = 13,8 - 1,27*10 + 0,03*10² = 4,1.

ä-сделать предположение о том, как будет происходить работа паровой

машины при увеличении объема до бесконечности (что невозможно

проделать на практике).

Заключение.

В данной работе были достигнуты следующие цели:

1. Овладение простейшими способами обработки опытных данных.

2. С помощью способа средних и способа наименьших квадратов для экспериментально найденных функционально зависимых величин подобрать функцию, которая бы наиболее точно описывала данный процесс.

3. Применение вышеназванных способов для описания реальных процессов.

При этом нельзя сделать однозначный вывод о том, какой способ наиболее точно описывает тот или иной процесс. Например, к математической и физической моделям наиболее точно можно подобрать функции с помощью способа средних. А реальный процесс лучше описывать не одной функцией, а несколькими на различных промежутках.

Таким образом, для обработки опытных данных необходимо использовать и способ средних, и способ наименьших квадратов.

Литература.

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –

СПб.: Профессия, 2001.

2. Данко П.Е. и другие. Высшая математика в упражнениях и задачах. –

М.: Высшая школа, 1999.

3. Мантуров О.В. Курс высшей математики. -