Динамические системы в плоской области (стр. 7 из 13)

то решение x =

(t — t₀, ), y = (t — t₀, ) определено при всех значениях t, t при всех этих значениях t выполняются неравенства

Замечание. Функции

(t— t₀, x₀, y₀), (t— t₀, x₀, y₀) по самому своему определению являются непрерывными функциями t— t₀.

Рис. 6.

Так как в силу настоящей теоремы эти функции непрерывны по переменным х₀, у₀ и равномерно непрерывны относительно tна всяком замкнутом конечном промежутке значений t, то, очевидно, эти функции непрерывны по совокупности своих аргументов при всех тех значениях этих аргументов, при которых они определены.

Теорема 4 может быть также сформулирована в следующей геометрической форме, которой мы в основном будем пользоваться в дальнейшем.

Теорема 4'. Пусть

М₀ (х₀, у₀) и M₁ (x₁y₁)

— две точки произвольной траектории L, соответствующие значениям t₀ и t₁ переменного t. Тогда для любого

> 0 можно указать такое > 0, что если точка М'₀ (М₀), то проходящая через эту точку при t= t₀ траектория L' определена для всех t в промежутке (или t₀ ) и точка М' траектории L', соответствующая любому значению t из этого промежутка, лежит в -окрестности точки М траектории L, соответствующей тому же t(рис. 6).

Докажем лемму, непосредственно вытекающую из теоремы 4.

Лемма 9. Пусть К — замкнутое ограниченное множество, целиком лежащее в G. Всегда существует h₀> 0 такое, что при любом t₀ решение

x=

(t — t₀, x₀, y₀), y= (t — t₀, x₀, y₀) (30)

для любой точки М₀ (х₀, у₀)

К заведомо определено при всех значениях t из промежутка

t₀- h

t t₀+h.

Доказательство. Предположим, что лемма несправедлива, т. е. для любого h> 0 найдется такая точка М

К, что решение (30), которое мы для краткости запишем в виде M = M(t — t₀, ), не определено на всем сегменте [t₀ — h, t₀+ h]. Тогда существует последовательность стремящихся к нулю положительных чисел { } и последовательность точек { } множества К таких, что решение M = M(t — t₀, ) не определено на всем сегменте [t₀— h_n, t₀+ h_n]. Так как по предположению К — замкнутое ограниченное множество, то из { } всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к некоторой точке М* множества К. Поэтому мы можем без ограничения общности считать, что сама последовательность { } сходится к некоторой точке M* К. Рассмотрим решение M = M(t—t₀, М*). Всегда существует h* > 0 такое, что это решение во всяком случае определено при значениях tна сегменте [t₀—h*, t₀ + h*]. В силу теоремы 4 тогда и всякое решение

M=M(t — t₀, M_n)

при достаточно большом nопределено на сегменте [t₀— h*, t₀+ h*]. Hoh_n < h* при достаточно большом n(так как h_n

0), и, следовательно, решение М = М (t— t₀, M_n) должно быть определено при всех значениях tиз сегмента [t₀— h_n, t₀+ h_n], что противоречит выбору точек М_n. Лемма доказана.

10. Замена переменных

Предположим, что область определения Gсистемы (I) ограничена, и рассмотрим регулярное отображение этой области на некоторую область G* плоскости (и, v).

Пусть это отображение задается формулами

x=f(u, v), y = g(и, v)(Т)

или эквивалентными им формулами

x = f*(x,y), y=g*(x,y), (Т*)

где функции f, g, f*, g* являются функциями класса С₂. Мы будем предполагать также, что G* — ограниченная область; для этого необходимо и достаточно, чтобы функции f* и g* были ограниченными в области G.

Переменные и и vможно рассматривать, как известно, не только как декартовы координаты на плоскости (и, v), но и как криволинейные координаты в области Gплоскости (х, у). Тогда (Т) и (Т*) являются формулами замены переменных или преобразования координат.

Пусть после перехода к координатам и, vсистема (I) принимает вид

= U(u,v), = V(u,v).(31)

При этом мы имеем, очевидно,

g(u, v)) + Q(f(u, v), g(u,v)), (32)

V(u, v) =

P(f(u, v), g(u, v)) + Q(f(u, v), g(u, v)).

Таким образом, при переходе к новым координатам и, vвектор т с координатами Р (х, у), Q (х, у) преобразуется в вектор т* с координатами U (и, v), V (и, и), связанными с Р (х, у), Q (х, у) выражениями (32).

При отображении (Т) всякая траектория системы (I)

x =

(t), y = (t) переходит в траекторию системы (31)

(33)

и, обратно, при отображении (Т*) траектории системы (31) переходят в траектории системы (I). Нетрудно убедиться непосредственно, что пара функций (33) является решением системы (31).

В дальнейшем мы будем рассматривать не только регулярные преобразования координат. В частности, мы часто будем пользоваться переходом к полярной системе координат, который, очевидно, не является регулярным преобразованием координат.

Действительно, при преобразовании к полярным координатам

во-первых нарушается взаимная однозначность, а во-вторых функциональный детерминант

,обращается в нуль, при

11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе

Если разделить одно уравнение системы (I) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение

(II)

либо дифференциальное уравнение

. ( )

Рассмотрим сначала уравнение (II). Пусть

какая-нибудь точка области G. В силу теоремы о существовании и единственности решения, если при значениях , P( ) , то существует единственное решение y=f(x), соответствующее начальным значениям , и, следовательно единственная интегральная кривая уравнения (II), проходящая через точку