Кручение стержней (стр. 2 из 9)

обращается в нуль на контуре S в соответствии с уравнением (7). Мы пришли, таким образом, к равенству

Таким же путем можно показать, что составляющая результирующей силы вдоль оси также равна нулю:

Следовательно, результирующие силы по торцам цилиндра обращаются в нуль.

Результирующий крутящий момент T по торцам стержня, отвечающий принятому распределению напряжений, равен:

(14)

Интеграл, фигурирующий в выражении (14), зависит от функции кручения

и, следовательно, от вида поперечного сечения R стержня. Вводя обозначение

(15)

Получим

(16)

где J – постоянная кручения. Уравнение (16) показывает, что крутящий момент пропорционален углу закручивания на единицу длины, так что произведение является мерой жесткости стержня, подвергаемого кручению; величина эта называется крутильной жесткостью стержня.

§1.2 Кручение стержней прямоугольного сечения

Пусть поперечное сечение стержня представляет собой прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами 2a и 2b, направленными параллельно координатным осям, как показано на рис.7. Пользуемся полученными ранее уравнениями: для всей прямоугольной области

рис.7

(6)

и по контору

(7)

На контурных линиях AB и CD, где x=

a, будет l= 1 и m=0 , а на линиях BC и AD имеем l=0 и m= 1 . Условие на контуре (7) можно переписать в следующем виде:

(31)

Этим условиям можно придать более удобную форму, вводя новую функцию

так, что

. (32)

Легко показать, что для новой функции

основное уравнение по всей прямоугольной области будет иметь вид:

; (33)

условия на контуре будут следующими:

при (34)

при (35)

Примем решение уравнения (33) в виде бесконечного ряда

(36)

каждый член, которого удовлетворяет дифференциальному уравнению; здесь Xn(x) и Yn(y) – функции соответственно только x и y. Очевидно, если решение для

нельзя выразить в форме ряда (36), то мы не сможем найти решение для функции Xn и Yn , удовлетворяющее граничным условиям.

Подставляя Xn(x), Yn(y) в уравнение (33) и обозначая производные штрихами, находим

Или

Так как левая часть полученного уравнения является функцией только от x, а правая зависит только от y, то уравнение может быть удовлетворено лишь в том случае, если обе его части равны постоянной величине; обозначим ее через (

) (постоянную берем со знаком минус, так как иначе граничные условия не будут удовлетворяться). Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Эти дифференциальные уравнения легко решить с помощью известных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение их будут следующими:

(37)

(38)

Рассмотрим теперь условие на контуре (35). Во-первых, можно установить, что выражение

должно иметь одно и то же значение при y=b и y=-b. Это условие может быть выполнено, если производные

являются симметричными функциям от y. Во-вторых, при будем иметь

Это условие удовлетворяется, если Xn(x) являются антисимметричными функциями относительно x. Исходя из этих соображений, находим, что c2=c4=0.Условие (34) будет выполнено, если

, или

Отсюда находим

.

Поскольку c1 и c2 – произвольные постоянные, функцию можно записать в следующем виде:

(39)

Где

;

постоянные An следует определить таким образом, чтобы удовлетворялось граничное условие (35).

Дифференцируя функцию

по y и подставляя из уравнения (35) получаем

; (40)

здесь для упрощения записи введено обозначение:

.

Коэффициенты An можно определить, пользуясь схемой, применяемой при разложении функции в ряд Фурье. Умножим обе части уравнения (40) на

и проинтегрируем все члены по x. Учитывая соотношения

получим

при

= a при m=n

и

Вычислив значения интегралов в этом выражении, найдем

или

следовательно, решение будет иметь вид:

(41)

Постоянную кручения J можно определить по формуле (15):

Принимая во внимание равенство

приходим к формуле для J:

(42)

В таблице 1.1 даны значения K, соответствующие разным величинам отношения b/a .

Таблица 1.1

b/a	K	K1	K2
1,01,21,52,02,53,04,05,010,0	2,2502,6563,1363,6643,9844,2084,4964,6564,9925,328	1,3501,5181,6961,8601,9361,9701,9941,9982,0002,000	0,6000,5710,5410,5080,4840,4680,4430,4300,4010,375

Ряд (42) можно записать в виде

Мы замечаем, что сумма

меньше суммы так как при . Следовательно, первый член ряда дает значение суммы с точностью до 0,5%, и для практических расчетов можно пользоваться приближенной формулой

(43)

После некоторых выкладок находим следующие формулы для касательных напряжений:

(44)

Можно показать, что если b>a, то максимальные касательные напряжения имеют место посередине длинных сторон прямоугольника, при

. Подставляя в уравнение (44) значения x=a и y=0, находим