Кручение стержней (стр. 7 из 9)

Найдем теперь условие на контуре для функции

. Так как боковая поверхность вала свободна от внешних нагрузок, то результирующее касательное напряжение должно быть направлено по касательной к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль N к контуру должна равняться нулю. В соответствии с этим имеем

С другой стороны,

cos(N^r)=dz/ds , cos(N^z)= - dr/ds,

где ds - элемент дуги контура. Подставляя сюда выражение (79), получаем

откуда

Или

на контуре

Таким образом, задача о кручении кругового вала переменного диаметра сводится к решению уравнения (80) при условии на контуре (81).

Величину крутящего момента легко вычислить, определив момент касательных усилий

в поперечном сечении:

(82)

Если вал имеет коническую форму, как на рис.18, то на контуре имеет место зависимость

рис.18

причем отношение, фигурирующее в левой части равенства, является величиной постоянной. Поэтому любая функция этого отношения будет удовлетворять условию на контуре (18).

Легко проверить, что функция

где C - постоянная, удовлетворяет уравнению (80). Постоянную C можно определить, подставив эту функцию в уравнение (82); тогда получим

(83)

Таким образом, касательные напряжения

и равны:

(84)

где C определяется по формуле (83).

Обычно задачи, с которыми приходится сталкиваться на практике, бывают более сложными. В таких случаях применяют численные методы решения.

ГЛАВА 3. КРУЧЕНИЕ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СТЕРЖНЕЙ

§3.1 Чистое кручение стержней постоянного сечения

1. Допущения

При решении задачи о чистом кручении стержней следуют "полуобратному методу" Сен-Венана, полагая

где z - ось стержня.

2. Основные уравнения

При принятых допущениях расчетные уравнения будут:

Статистические уравнения

(85)

Краевые условия

на боковой поверхности

(86)

на торцах (z=0 и z=l)

(87)

где Mz крутящий момент.

Геометрические уравнения

(88)

(89)

3. Решение задачи посредством функции Прандля

Напряжения выражают через функцию

по формулам:

(90)

Согласно уравнениям (89)

(91)

Интегрированием уравнений (88) находят, отбросив члены, представляющие перемещение стержня как твёрдого тела:

(92)

где

угол закручивания на единицу длины стержня.

Из двух последних уравнений (88) получают уравнение

откуда

(93)

4. Свойства функции Прандля

Из уравнения (86) (рис.18)

рис.18

и, следовательно, на контуре сплошного стержня

(94)

Касательное напряжение в любой точке сечения направлено по касательной к линии

, проходящей через эту точку, и пропорционально быстроте изменения по нормали к этой линии:

(95)

Согласно теореме о циркуляции касательного напряжения (Бредт, 1896 г.)

(96)

где

площадь сплошного сечения, ограниченная рассматриваемой кривой.

Согласно третьему уравнению (87)

(97)

где

дифференциал функции напряжений (95); F - площадь сечения (включая отверстия).

§3.2 Чистое кручение круглых стержней (валов) переменного сечения

1. Допущения

При кручении вала переменного сечения (рис. 19) задача решается

рис.19

в цилиндрических координатах при следующих допущениях:

(98)

2. Основные уравнения

При принятых допущениях (98) расчетные уравнения будут:

Геометрическое уравнение

(99)

Уравнения закона Гука

(100)

Статические уравнения

При отсутствии объемных сил из уравнений равновесия остается лишь одно:

а остальное удовлетворяются тождественно.

Последнее уравнение можно записать в форме:

(101)

и тождественно удовлетворить введением функции напряжений

по формулам:

(102)

Решая совместно уравнения (100) и (102) получаем:

(103)

Если боковая поверхность свободна от внешних сил, то результирующее касательное напряжение направлено по касательной к контуру осевого сечения, а его проекция на нормаль v равна нулю. В этом случае имеем:

Где

Приняв во внимание формулы (92), получим:

откуда следует, что на контуре

(104)

на торцах (z=0 и z=l)

(105)

где a - радиус рассматриваемого поперечного сечения, определяемый уравнением образующей.

Если на боковой поверхности действует нагрузка p, то

,

Откуда

и вместо формулы (104) получим:

(106)

3. Решение дифференциального уравнения кручения вала

Возможны различные формы решений уравнения (103)

В степенных функциях.

Полагаем

(107)

Подставляя значение

в уравнение (103), находим n=4 и m=1, откуда

(108)

и напряжения принимают вид:

(109)

Из формул (109) получаем ряд частных случаев, например при A=D=0 и B=1 - элементарное решение задачи о кручении круглого вала. В этом случае

и на основании формулы (105)

В функциях Бесселя.

Полагая

где R(r) - функция переменной r, а Z(z) - переменной z, и подставляя в уравнение (103), получаем:

(110)