Развитие математического мышления учащихся на основе дифференцированного обучения (стр. 5 из 7)

Под задачей, следуя психолого-педагогическому определению, будем понимать цель, достижение которой возможно с помощью определенных действий (деятельности) в столь же определенной ситуации. В зависимости от варианта предъявления ученику названных трех компонентов задачи от него будет требоваться выполнение деятельности продуктивного или репродуктивного характера. Тем самым задается различный уровень усвоения:

Уровни усвоения	Компоненты задачи			Деятельность ученика
	Цель	Задачная ситуация	Способ решения (действия)
1 Узнавание, понимание	задана	задана (типовая)	внешне задан в виде правила (алгоритма)	по аналогии с решенной задачей
2 Алгоритмический	задана	задана (типовая)	явно не задан, воспроизводится по памяти, как ранее известный в виде алгоритма	репродуктивно-алгоритмическая
3 Эвристический	задана	задана неявно, требуется уточнение (не типовая, но знакомая)	не задан, требуется видоизменить известный или получить новый комбинацией из нескольких известных	продуктивно-эвристическая
4творческий	задана в общей форме	не задана, требуется найти подходящую ситуацию (проблемная)	не задан, создается новый, ранее не известный	продуктивно-творческая, исследовательская

В основу вычленения уровневой дифференциации задач может быть положен критерий субъективной новизны ситуации для решающего. Выделим три уровня сложности учебных задач, которые соответствуют 1, 3 и 4 уровням усвоения опыта, приведенным в таблице.

2 уровень. Задачи решаются учащимися на основе только что изученных знаний и способов деятельности, которые они воспроизводят по памяти. Это типовые задачи на непосредственное применение теорем, определений, правил, алгоритмов, формул и т. п. в различных конкретных ситуациях, не требующих преобразующего воспроизведения структуры усвоенных знаний. Готовность учащихся выполнять воспроизводящую деятельность этого уровня рассматривается как обязательный результат обучения, который вычленен в большинстве школьных учебников.

3 уровень. Задачи требуют от учащихся применения усвоенных знаний и способов деятельности в нетиповой, но знакомой им ситуации, которое сопровождается преобразующим воспроизведением. Учащийся, комбинируя известные приемы решения задач, уточняет, проясняет задачную ситуацию и выбирает соответствующий способ деятельности. К такого рода задачам относятся так называемые комбинированные задачи, требующие применения различных элементов знаний уже усвоенных на I уровне.

4 уровень. Задачи этого уровня требуют от учащегося преобразующей деятельности при избирательном применении усвоенных знаний и приемов решения в относительно новой для него ситуации, заключающейся в использовании действий 2 и 3 уровней, в конструировании новых для учащегося систем, позволяющих решить предложенную задачу. В процессе поиска решения задачи учащийся, используя интуицию, смекалку, сообразительность, сам выходит на неизвестный для себя способ решения, открывая новые знания. Деятельность учащегося постепенно освобождается от готовых образцов, сложившихся установок и приобретает гибкий поисковый характер.

Охарактеризованные три уровня умения решать математические задачи характерны для итогового контроля по теме (разделу), курсу. В процессе усвоения математических знаний необходимо выделить еще один уровень (в таблице он назван первым), который показывает сформированность их на уровне понимания, узнавания. Учащийся решает типовую задачу на основе образца иди подробной инструкции, пользуется учебником, справочником, записями в тетради. На этом уровне он демонстрирует своё понимание соответствия условия и цели задачи тому способу решения, который использует, но еще не его запоминание.

В процессе освоения умения решать задачу того или иного типа некоторые учащиеся долго не могут запомнить прием решения и даже на итоговом контроле показывают только умения 1 уровня. Учащиеся, которые путают способ решения и формулу, по которой решается задача не могут найти ее в учебнике и с ее помощью решать задачу, т.е. не освоили умение 1 уровня, без этого не смогут освоить 2 уровень - уровень решения типовой задачи по памяти. Поэтому недопустимо игнорировать контроль 1 уровня.

Ознакомление учащихся с уровнями усвоения материала позволяет им рассчитывать свои силы, в ходе изучения темы они могут самостоятельно и осознанно оценить свои знания и возможности.

3.2 Уровневое тестирование

Одним из наиболее эффективных и удобных методов уровневой диагностики математических знаний, умений и навыков по сравнению с традиционными видами контроля (зачеты, опросы, устные контрольные работы и др.) являются тесты.

Тест состоит из нескольких коротких задач (вопросов), на которые учащийся должен реагировать или составлением ответа (что часто представляет собой заполнение пробелов), или комбинированием предложенных ему готовых ответов (выбор правильного ответа, объединение подходящих элементов, суждение о правильности представленных ответов и т.д.), а чаще всего включает в себя образец правильного решения каждой задачи (эталон).

Чтобы правильно составить тест для контроля уровня усвоения математического содержания, нужно знать основные требования, предъявляемые к предметным тестам: 1) функциональная валидность - соответствие проверяемому уровню усвоения; 2) содержательная валидность - соответствие содержанию проверяемого материала; 3) простота - включение в тест задач одного уровня, проверяющих усвоение одного факта или одного действия, 4) определенность - обеспечение общепонятности формулировок задач для всех учащихся; 5) однозначность - создание эталона, соответствующего полному и правильному решению задач.

Приведем примеры уровневых тестов различных видов, которые соответствуют типологии В. П. Беспалько.

Тесты 1 уровня. Они нацелены на выявление: 1) умение выполнять действие "подведения под понятие" при внешне заданных правилах действования ("с подсказкой"); 2) умения отличать правильное использование знания от неправильного. Тесты этого уровня должны требовать от ученика выполнение деятельности по узнаванию.

1. Тест опознания:

Является ли последовательность арифметической прогрессией: 1) 3; 6; 9; 12; ... ; 2) 2; 4; 8, 16; ...; 3) 10; 7; 4; 1; ...; 4) 100; 10; 1; 0,1; ...

Эталон: 1) - да; 2) - нет; 3) - да, 4) - нет.

2. Тест на различение:

Укажите арифметические прогрессии, разность которых равна 3: 1) 3; 6; 9; 12; ...; 2) 3, 0; –3; –6;...; 3) 1; 3; 9; 27;...; 4) –5; –2; 1; 4; ...

Эталон: 1) - да; 2) - нет; 3) - нет; 4) - да.

3. Тест на классификацию:

Укажите, какая из предложенных последовательностей является; а) арифметической прогрессией; б) геометрической прогрессией: 1) 3; 9; 27; …; 2) 1; 0,1; 0,01; …; 3) –40; –20; 0; …; 4) 23; 17,2; 11,4; …; 5) 8; 8; 8; …

Эталон: 1)- б); 2) - б); 3) -а); 4) -а); 5) -а) и -б).

4. Тест с пробелами:

Известны два члена арифметической прогрессии. Дополните неизвестный член прогрессии: 1) 4; 10; …; 2) 8; 5; …; 3) 3; …; 13; 4) 40; …;10; 5) …; 5; 9; 6) …; 10; 6.

Эталон: 1) - 16; 2) - 2; 3) - 8; 4) - 25; 5) - 1; 6) -14.

5. Математический диктант:

Учащиеся на слух воспринимают формулировки определений, теорем, фактов, формул и т. п. и определяют верно или неверно приведена учителем формулировка, ответ фиксируют в тетради в виде символов: "" - верно, "_" - неверно.

Верна или нет формулировка:

1) Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

2) Два отрезка называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3) Два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

4) Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

5) Если при пересечении двух прямых третьей односторонние углы равны, то прямые параллельны.

Тесты 2 уровня. Они нацелены на выявление: 1) умения воспроизводить математическое содержание по памяти; 2) умения решать типовые задачи самостоятельно, воспроизводя по памяти способ решения.

1. Тест - подстановка:

Запишите формулы, которые надо использовать при решении следующих задач:

1) Найдите сумму десяти членов арифметической прогрессии, если a₁ = 5, a₁₀= 50.

2) Найдите сумму двадцати членов арифметической прогрессии: –23, –20.

3) В арифметической прогрессии a₁ = 20; d = 5. Найдите двадцатый ее член.

4) В арифметической прогрессии a₄ = 1,7; a₆ = 3,2. Найдите a₅.

5) Какой номер имеет член арифметической прогрессии, равный - 21, если первый член прогрессии равен 4, а равность рана 3.

2. Конструктивный тест:

1) Напишите формулу для нахождения двадцатого члена арифметической прогрессии.

Эталон: a₂₀ = a₁+19d.

2) Известны шестой и седьмой члены арифметической прогрессии. Напишите формулу, с помощью которой можно найти разность.

Эталон: d = a₇ – a₆.

3. Типовая задача.

Любая задача, взятая из обязательных результатов обучения.

Тесты 3 уровня. Нацелены на выявление: 1) умения воспроизводить и преобразовывать усвоенную информацию; 2) умения применять усвоенные способы решения типовых задач в нетипичной ситуации, но отчасти знакомой ученику.

1. Найдите сумму членов прогрессии от 10 по 20 включительно, если первый член прогрессии равен –10, а разность равна 3.